MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTO

PLANTEAMIENTO GENERAL

Con el método pendiente deflexión y su alternativa de solución de la distribución de momentos nos hemos dado cuenta de las bondades del método de la rigidez con respecto al método de las fuerzas.

Detectamos también que por hacer mas fácil la solución del análisis hemos simplificado a tal extremo las ecuaciones que dejamos a un lado efectos tan importantes como la deformación por carga axial y por cortante. Estos efectos se hacen mas notorios en estructuras que incluyan elementos con cargas axiales considerables o inclusive aquellas construidas con elementos que solo trabajen a carga axial, como es el caso de cerchas, y en estructuras con elementos con grandes secciones transversales en un sentido, como es el caso de muros, donde el efecto principal en ellos no es la flexión sino las fuerzas cortantes.

Otra de las dificultades en que nos encontramos al trabajar con las ecuaciones de pendiente deflexión es el plantear ecuaciones de compatibilidad para elementos inclinados. Este hecho no lo habíamos mencionado cuando vimos ese método por lo tanto merece la pena detenerse un poco y descubrir cual es el problema que se presenta cuando tenemos este tipo de elementos.

Primero recordemos que las ecuaciones pendiente deflexión están en función de las rotaciones de extremo de elemento, del desplazamiento relativo entre estos extremos, siempre medido en el sentido perpendicular al elemento y de los momentos de empotramiento perfecto. Planteadas estas ecuaciones para estructuras con elementos horizontales y verticales, no se presenta ningún problema ya que los desplazamientos de elementos horizontales se entienden como asentamientos de los apoyos y no afectan a los elementos verticales (ya que no hay cambios en la longitud de los elementos) , o al contrario para desplazamientos horizontales estos solo se tienen en cuenta en los elementos verticales.

Cuando adicionamos los efectos por carga axial estamos involucrando en la estructura los grados de libertad correspondientes a los acortamientos y alargamientos de los elementos, lo que conduce a que tengamos que plantear los D relativos entre extremos de elementos en función de los desplazamientos horizontales y verticales de los nudos en que concurren los extremos de los elementos.

Cómo adicionar de una forma sencilla los efectos de carga axial, cortante y el hecho de tener desplazamientos en cualquier sentido de la estructura en el análisis por el método de la rigidez ?

Ya otros nos han quitado la posibilidad de responder esa pregunta planteando lo que conocemos el método de la rigidez directa.

El método parte de los mismos criterios del de pendiente-deflexión: planteamiento de ecuaciones de equilibrio en el sentido de los grados de libertad libres, planteamiento de ecuaciones de compatibilidad y planteamiento de ecuaciones que relacionen las fuerzas con los desplazamientos. A continuación presentamos en forma de ecuaciones de matrices la metodología de los métodos de rigidez en general:

1. Ecuaciones de equilibrio:

El planteamiento de estas ecuaciones de equilibrio en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres se puede expresar matricialmente como:

donde:

: son las fuerzas y momentos de extremo de los elementos, en este caso desconocidas.

: representa las fuerzas y momentos aplicados externamente en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres

: es la matriz estática de la estructura, o sea aquella que resulta de plantear las ecuaciones de equilibrio

2. Ecuaciones de compatibilidad: Son aquellas que expresan los desplazamientos de los grados de libertad de cada elemento en función de los desplazamientos de los grados de libertad libres de toda la estructura.

        DESPLAZAMIENTOS ROTACIONES

donde:

deformaciones internas de los elementos, por ejemplo desplazamientos o deformaciones axiales y desplazamientos perpendiculares al elemento, estos se dan medidos con respecto a unos ejes locales del elemento que van uno paralelo al eje axial del elemento llamado ”x” y otros dos ejes perpendiculares a este llamados “y” y “z” designados siguiendo la regla de la mano derecha.

rotaciones de extremos de los elementos con respecto a su eje axial y medido en contra a las manecillas del reloj

desplazamientos tanto vertical como horizontal de toda la estructura en sus grados de libertad libres, medidos con respecto a unos ejes generales X, Y y Z.

rotaciones de toda la estructura en sus grados de libertad libres, medidos con respecto a unos ejes generales X, Y y Z, llamados ejes globales de toda la estructura.

3. Ecuaciones de relaciones fuerza -desplazamiento: Estas relacionan las fuerzas y momentos de extremo de cada miembro con sus desplazamientos y rotaciones. Ojo es de cada miembro y no de la estructura general.

  y     se puede en general simplificar diciendo que las  corresponden tanto a fuerzas como a momentos y que las   corresponde tanto a desplazamientos como a rotaciones.

es la matriz de rigidez de los elementos

El método tiene por objetivo encontrar los desplazamientos Δ y rotaciones θ de toda la estructura.

Pasos a seguir:

Expresamos las ecuaciones de fuerzas internas en función de los desplazamientos externos de toda la estructura:

llevamos estas ecuaciones a las de equilibrio:

si expresamos el término como la rigidez general de toda la estructura , tenemos:

esta ecuación tiene solución para los Δ al invertir la matriz de rigidez y multiplicarla por el vector de fuerzas P.

Una vez conocidos los desplazamientos de los grados de libertad libres procedemos a encontrar los desplazamientos de extremo de elemento:

con estos encontramos las fuerzas de extremo de los elementos:

Note que en las ecuaciones de equilibrio no se incluyen las reacciones, por lo tanto este método no encuentra de una forma directa las reacciones, estas se determinan al considerar las fuerzas de extremo de los elementos en función de los desplazamientos.

Hemos planteado el procedimiento general el cual requiere del planteamiento de la matriz de rigidez de los elementos en función de los desplazamientos y giros de sus extremos. Esta matriz ya la habíamos planteado al expresar las ecuaciones de pendiente deflexión. Recordemos que partimos de miembros con extremos fijos y vamos soltando de a un grado de libertad y determinamos como varían las fuerzas al producirse ese movimiento:

PLANTEAMIENTO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS:

Partimos de un elemento tipo viga con todos sus grados de libertad restringidos

Seis fuerzas de extremo de elemento que debemos expresar en función de los desplazamientos por medio de la rigidez. (rigidez: fuerza necesaria para producir en desplazamiento unitario)

Encontraremos la matriz de rigidez que asocia cada desplazamiento con la fuerza que produce en el extremo:

1.Para la primera casilla de la matriz de rigidez se refiere al grado de libertad a1, desplazamiento en x del extremo a del elemento:

las demás fuerzas de extremo son cero. En el caso de soltar el grado de libertad correspondiente a eb1 también obtendríamos el mismo resultado.

Podríamos representar el primer vector de la matriz de rigidez como:

similarmente para el vector 4.

2. Liberemos el grado de libertad correspondiente a una reacción vertical en el extremo B, o sea en esta nomenclatura el eb2 y aplicamos la fuerza fb2

Resolviendo por el método de las fuerzas tenemos:

resolviendo para las fuerzas cortantes de extremo tenemos:

Para este tipo de desplazamiento nuestro vector queda:

similar cuando soltamos el grado de libertad ea2 pero con diferentes signos.

3. Soltamos el grado de libertad de rotación en el extremo A o sea ea3.

de donde

expresemos el Ma en función de la rotación del extremo A

Expresando esto con la nomenclatura planteada tenemos:

   y  

Cortantes asociados a estas rotaciones:

    y    

Armando toda la matriz de rigidez del elemento tenemos:

Se puede simplificar esta matriz si la dividimos en submatrices

donde kaa representa la rigidez que asocia fuerzas del extremo a con deformaciones del extremo a, kab asocia fuerzas generadas en a por desplazamientos del extremo b.

PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

EQUILIBRIO: Cualquier desplazamiento o giro en un extremo del elemento produce fuerzas que se encuentran en equilibrio. Ejemplo de un asentamiento en un extremo

MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO: Si el elemento se mueve sin sufrir deformaciones internas las fuerzas de extremo que genera serán nulas.

Al aplicar un desplazamiento general sin deformación tenemos:

Si hallamos las fuerzas asociadas a estos desplazamientos por medio de la matriz de rigidez encontramos que son nulas:

SINGULARIDAD: La matriz de rigidez no tiene inversa ya que sus ecuaciones no son independientes sino redundantes. Para que tenga solución se necesita restringir algunos grados de libertad para hacer el elemento estático.

SIMETRÍA: Se cumple la ley de los desplazamientos recíprocos.

CORRECCIÓN PARA ELEMENTOS CON EXTREMOS ARTICULADOS

Para elementos que tengan uno o los dos extremos articulados podemos hacer una corrección a la matriz de rigidez tal como se usó por el método de la distribución de momentos. Es como decirle a ese extremo que no tome momento por empotramiento. Esta corrección se hace multiplicando la matriz k por una matriz de corrección (c ) que elimine la restricción en ese extremo.

Este elemento en su extremo a no puede tener momento de reacción, o sea Fa3=0

se puede despejar  en función de los otros desplazamientos:

se pueden entonces expresar un vector de desplazamientos corregido expresando la rotación del extremo a en función de los otros desplazamientos del elemento.

entonces expresado en la matriz de rigidez del elemento tenemos:

donde:

  es la matriz de rigidez modificada por articulación en el extremo a.

Se procede de igual manera para articulación en el extremo b y para elemento con ambos extremos articulados.

La matriz correspondiente a articulación en b sería:

Para elementos tipo cercha la matriz de corrección está dada por:

esta matriz se obtuvo de resolver simultáneamente las ecuaciones de momentos fa3 y fb3 igualándolos a cero y expresando los desplazamientos Δa3 y Δb3 en función de los otros grados de libertad.

Matriz de rigidez corregida para elemento tipo cercha, se eliminan la 3ra la y 6ta filas y la 3ra y 6ta columna:

Con estas matrices quedan expresadas las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones y de relaciones fuerzas desplazamiento, queda por definir el equilibrio en los nudos.

MATRIZ DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES:

Esta matriz sirve para relacionar los desplazamientos de extremo con los movimientos generales de toda la estructura en sus ejes globales, también se conoce como matriz de transformación de coordenadas.

Su planteamiento asume entonces una conversión de ejes locales de los elementos a ejes globales de estos:

lo mismo para las fuerzas del extremo b

La matriz de transformación de coordenadas corresponde a la matriz de compatibilidad de fuerzas y se expresará con la letra λ. Note que esta matriz es para fuerzas y no para desplazamientos.

sabemos que:

en esta ecuación multiplicamos a ambos lados por la matriz λ

donde:

reemplazando tenemos:

estas son las fuerzas de extremo de elemento en coordenadas globales expresadas en función de los desplazamientos en coordenadas locales.

Debemos expresar estas fuerzas en función de los desplazamientos globales para lo cual necesitamos expresar los desplazamientos e en función de los desplazamientos Δ.

Volviendo al mismo planteamiento de ejes, tenemos:

que es similar a:

si aplicamos lo mismo a los desplazamientos del otro extremo, podemos expresar todos los desplazamientos de los extremos de elementos en función de las coordenadas globales de la estructura.

reemplazando esta ecuación en la de fuerzas tenemos:

de esta manera llegamos a obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales , realicemos esta operación con la matriz de los elementos ya planteada:

definitivamente estas matrices es mejor manejarlas por submatrices de 3×3

El resultado de esta multiplicación entre matrices es una matriz de 6×6 :

esta matriz sigue cumpliendo las propiedades de la matriz de rigidez de los elementos en coordenadas locales.

Cuando el ángulo q es igual a cero entonces debe dar igual a la matriz en coordenadas locales.

Esta matriz se expresa de una manera mas sencilla si:

EQUILIBRIO EN LOS NUDOS

El planteamiento de las ecuaciones de equilibrio para los grados de libertad libres de cada nudo de la estructura nos lleva a expresar unas ecuaciones en función de las fuerzas de extremo del elemento.

Equilibrio en el nudo S:

reemplazando estos valores en la ecuación de equilibrio e igualando a cero los desplazamientos de los grados de libertad restringidos, tenemos:

equilibrio en el nudo T:

Asi quedan dos ecuaciones con dos incógnitas que corresponden a los desplazamientos de los nudos s y t.

entonces podríamos decir que esta matriz que suma parte de las matrices de rigidez de los elementos constituye la matriz de rigidez de toda la estructura. Note que en esta matriz en las casillas de la diagonal se suman las rigideces de los elementos que convergen a un nudo y en las otras casillas se colocan las rigideces de los elementos que unen dos nudos.

En el caso de que tengamos fuerzas de empotramiento perfecto en los elementos entonces:

al remplazar los valores de las fuerzas de extremo de los elementos en las ecuaciones de equilibrio se incluyen los términos de las fuerzas de empotramiento perfecto quedando las ecuaciones de equilibrio como:

se puede encontrar un sistema general de cargas en los nudos donde se incluyen tanto las cargas externas aplicadas directamente en ellos como las cargas de empotramiento perfecto.

se resuelve para Δ y se retrocede en el sistema de ecuaciones hasta encontrar las fuerzas de extremo de elementos en coordenadas locales. Note que en la ecuación de fuerzas F=k.Δ+FEP están incluidas las fuerzas de empotramiento perfecto en coordenadas globales.

ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Debido a que las incógnitas a despejar son los desplazamientos de los grados de libertad libres entonces las rigideces relativas a ellos son los que alimentan la matriz de rigidez general de la estructura. Para que nos quede la matriz en orden debemos numerar los grados de libertad libres primero conservando el orden de los ejes globales. Los grados de libertad restringidos también se numeran para integrarlos en el problema ya sea que se quiera resolver una estructura con un movimiento conocido en un grado de libertad restringido o para hallar reacciones.

Se numeran los elementos y los nudos, se determinan los sentidos de los ejes locales de los elementos definiendo el extremo a y el b de cada uno, siempre el eje local 1 va de a a b y el ángulo entre el eje local y global se mide de local a global por la regla de la mano derecha.

El ensamble de la matriz es tal que las casillas de la diagonal se llenan con las rigideces de los elementos que convergen en un nudo y las otras con las de aquellos elementos que sirven de unión entre dos nudos de la estructura.

Cada elemento de la estructura tiene su matriz de rigidez en coordenadas globales, en este caso el elemento 1 queda:

7            8            9           1             2             3

1             2             3           10           11       12

1           2            3             4            5           6

en estas matrices se numeran las filas y columnas con los números de los grados de libertad tal cual están en la estructura, el ensamble de la matriz de rigidez total se hace numerando las filas y columnas con los grados de libertad libres y restringidos de toda la estructura y las casillas de las matrices de los elementos se van sumando en la posición correspondiente en la matriz de rigidez. Para la casilla 1,1 de la matriz de rigidez total se insertan las casillas numeradas con 1,1 en las matrices de los elementos 1, 3 y 2 ya que ellos están asociados con el grado de libertad 1.

1                                  2

Así todos las fuerzas relacionadas con un desplazamiento en un nudo dado o en el nudo del otro extremo del elemento se van sumando a la matriz de rigidez total. Expresando esta matriz como submatrices tenemos:

1 2 3 4 5 6

En el caso de que queramos resolver para las reacciones el montaje de la matriz de rigidez debe incluir los grados de libertad restringidos:

donde cada termino de esta matriz representa una submatriz de 3 filas. Note que los desplazamientos de los grados de libertad restringidos son iguales a cero.

La matriz de rigidez total, incluyendo los grados de libertad restringidos quedaría:

expresando esta ecuación en términos de submatrices tenemos:

donde:

F23= fuerzas externas aplicadas en los nudos 2-3, estas fuerzas son conocidas

F345= fuerzas aplicadas en los nudos 3, 4, 5 . Corresponden a reacciones y son fuerzas desconocidas

GLL= fuerzas o desplazamientos de los grados de libertad libres

GRL= fuerzas o desplazamientos de los grados de libertad restringidos

KLL= submatriz de rigidez de 6×6 que relaciona las fuerzas en los nudos con grados de libertad libres con los desplazamientos de los grados de libertad libres.

KRL= submatriz de rigidez de 6×9 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad libres (nudos 2 y 3) con los desplazamientos de los grados de libertad restringidos (nudos 3,4,5)

KLR= submatriz de rigidez de 9×6 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad restringidos con los desplazamientos de los grados de libertad libres

KRR= submatriz de rigidez de 9×9 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad restringidos con los desplazamientos de los grados de libertad restringidos.

ΔGLL= desplazamientos en los grados de libertad libres, son desconocidos.

ΔGLR= desplazamientos en las restricciones, estas son iguales a cero.

Realizando las ecuaciones:

entonces en la primera ecuación se encuentran los ΔGLL, invirtiendo la matriz de rigidez correspondiente a los grados de libertad libres, una vez conocidos estos desplazamientos podemos encontrar las fuerzas en los nudos 3, 4 ,5 (reacciones) por medio de la segunda ecuación.

CONDENSACIÓN DE UNA MATRIZ DE RIGIDEZ

La condensación es el un método que nos permite reducir la cantidad de incógnitas a determinar en un análisis estructural o el tamaño de la matriz de rigidez a invertir.

La condensación se da por igualación de grados de libertad o eliminación de ellos como incógnitas al despreciar deformaciones axiales o también por tener ecuaciones en la matriz de rigidez que estan asociadas a fuerzas externas mas fuerzas de empotramiento iguales a cero.

Explicaremos primero la condensación por medio del ejemplo del pórtico desarrollado en clase despreciando deformaciones axiales.

Al montar la matriz de rigidez de toda la estructura de este ejemplo tenemos:

1 2 3 4 5 6

Esta matriz se puede expresar como:

donde cada submatriz es una matriz de 3×3

Si despreciamos las deformaciones axiales vemos que podemos expresar unos grados de libertad en función de otros que los vamos a considerar independientes, esto nos lleva a plantear unas ecuaciones de ligadura entre los grados de libertad:

ecuación que expresa que la viga no se estira ni se encoje.

ecuación que nos dice que la columna 1 no tiene deformaciones axiales y adicionalmente nos dice que el desplazamiento en el sentido del grado de libertad 2 es igual a cero.

ecuación de la columna 3.

Al considerar las ecuaciones resultantes de la multiplicación de las matrices K y Δ

, observamos que todos los coeficientes que multiplican a los desplazamientos de los grados de libertad 2 y 5 (Δ2=0 y Δ5=0) se pueden tachar de la matriz ya que ellos al multiplicar por cero no aportan nada a las ecuaciones de equilibrio de la estructura. En este caso la matriz de rigidez quedaría reducida a una matriz de 6 filas y 4 columnas. Para reducirla a una matriz de 4×4 consideramos que las fuerzas en los grados de libertad 2 y 5 no dependen de sus propios desplazamientos sino de los desplazamientos en los otros grados de libertad, por lo tanto no son independientes sino dependientes. Se reorganiza la matriz de rigidez de tal manera que las ecuaciones independientes queden en la parte superior y las dependientes abajo. Así ya obtenemos una matriz de rigidez de 4×4, donde hemos condensado las deformaciones axiales de las columnas.

El tratamiento con el grado de libertad 4 es diferente ya que este no es cero. Si miramos la matriz de rigidez dentro del contexto F=k*Δ, cada fila de ella contiene unos factores que multiplican a cada una de las deformaciones de los grado de libertad libres y se iguala cada una de las fuerzas en ese sentido. En el caso del grado de libertad 4 vemos que Δ1=Δ4, entonces en las ecuaciones de rigidez podrimos decir que los términos que multiplican a Δ4 se suman a los terminos que multiplican a Δ1; esto es la columna 4 de la matriz de rigidez se puede sumar a la columna 1 y no se ha alterado el resultado.

La matriz resultante queda en este momento de 4 filas por 3 columnas, que pasa con esa fila que sobra?. Bueno esa fila corresponde a F4 la cual por equilibrio de la viga sabemos que es igual y de sentido contrario a F1 (sin deformaciones axiales), entonces se pueden sumar las filas 1 y 4 y se igualan a la fuerza del grado de libertad 1.

La matriz queda:

1 3 6

Esta matriz es de3x3, mucho menor a la que se había considerado al principio. Todavía podemos pensar en otra condensación para esta matriz considerando que la única fuerza externa para la que la vamos a resolver es la fuerza aplicada en la dirección del grado de libertad 1. La ecuación de equilibrio con esta matriz se puede expresar de la forma:

donde la matriz de rigidez se ha fraccionado en submatrices ko de 1×1, k2 de 1×2, k3 de 2×1 y k4 de 2×2.

Expandiendo las ecuaciones de la matriz tenemos:

de la segunda ecuación podemos despejar en función de y reemplazar en la primera ecuación.

note que la solución para Δ1 correspondería a dividir la fuerza por la cantidad numérica que resulta de multiplicar las submatrices dentro de los corchetes ( tenga en cuenta que este resultado da un número y no una matriz). En conclusión la única matriz que se tuvo que invertir es la matriz k3 que es de 2×2, el problema se redujo considerablemente. Por otro lado si lo que queremos obtener es la rigidez lateral del pórtico está estará dada por .

La primera condensación realizada corresponde a ecuaciones de ligadura y esta ultima condensación corresponde a las ecuaciones de equilibrio.

Esta metodología se puede expresar en forma general por medio de matrices.

FORMA GENERAL DE CONDENSAR UNA MATRIZ

Se plantearán ecuaciones generales pero se expresan para el ejemplo del pórtico.

El primer paso después de tener la matriz de rigidez de toda la estructura es plantear las ecuaciones de ligadura entre los grados de libertad dependientes y los independientes:

Ligadura:

Esta ecuación queda:

Esta ecuación queda:

ecuación de la columna 3 y queda

Ecuaciones de ligadura:

Donde A es la matriz que contiene estas ecuaciones

reorganizando los Δ de tal manera que arriba queden los independientes y abajo los dependientes y particionando esta matriz, tenemos:

donde Ao es una matriz que multiplica a los desplazamientos independientes y A1 a los desplazamientos dependientes, desarrollando las ecuaciones de esta multiplicación matricial:

de esta manera encontré los desplazamientos dependientes en función de los independientes

de tal manera que puedo convertir los Δ de 6×1 en función de los Δ independientes así:

expresado en todos los grados de libertad tendríamos:

matriz R

Para poder incluir la matriz R en la ecuación de rigidez debe estar organizada igual que la matriz de rigidez general de la estructura o sea en el orden de los grados de libertad, una vez intercambiadas filas y columnas de podemos expresar la ecuación como:

ecuación 1

sabemos que

ecuación 2

y por ley de Betty y transformación de la matriz de rigidez tenemos:

ecuación 3

reemplazando las ecuaciones 1 y 3 en la ecuación 2:

De esta manera condensamos la matriz de rigidez y queda por resolver un sistema de 3×3. Falta la condensación por las ecuaciones estáticas o sea aquella que se hace porque las fuerzas externas en algunos de los grados de libertad independientes son cero. En el caso del pórtico sería dejar todo en términos de Δ1.

de aquí en adelante se siguen los mismos pasos explicados en el ejemplo para resolver la ecuación en función de los grados de libertad libres, independientes y que tengan fuerza externa aplicada en ellos. Esta fuerza externa también puede ser por fuerzas de empotramiento perfecto ya que el sistema que se resuelve es para el vector de fuerzas aplicadas directamente en los nudos menos el vector de FEP.