MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTO

METODO DE RIGIDEZ EN PORTICOS

PLANTEAMIENTO GENERAL

Con el método pendiente deflexión y su alternativa de solución de la distribución de momentos nos hemos dado cuenta de las bondades del método de la rigidez con respecto al método de las fuerzas.

Detectamos también que por hacer mas fácil la solución del análisis hemos simplificado a tal extremo las ecuaciones que dejamos a un lado efectos tan importantes como la deformación por carga axial y por cortante. Estos efectos se hacen mas notorios en estructuras que incluyan elementos con cargas axiales considerables o inclusive aquellas construidas con elementos que solo trabajen a carga axial, como es el caso de cerchas, y en estructuras con elementos con grandes secciones transversales en un sentido, como es el caso de muros, donde el efecto principal en ellos no es la flexión sino las fuerzas cortantes.

Otra de las dificultades en que nos encontramos al trabajar con las ecuaciones de pendiente deflexión es el plantear ecuaciones de compatibilidad para elementos inclinados. Este hecho no lo habíamos mencionado cuando vimos ese método por lo tanto merece la pena detenerse un poco y descubrir cual es el problema que se presenta cuando tenemos este tipo de elementos.

uc?id=1pntOZrGLI5fbM6SuJjn5Ylc433MBMgUY

Primero recordemos que las ecuaciones pendiente deflexión están en función de las rotaciones de extremo de elemento, del desplazamiento relativo entre estos extremos, siempre medido en el sentido perpendicular al elemento y de los momentos de empotramiento perfecto. Planteadas estas ecuaciones para estructuras con elementos horizontales y verticales, no se presenta ningún problema ya que los desplazamientos de elementos horizontales se entienden como asentamientos de los apoyos y no afectan a los elementos verticales (ya que no hay cambios en la longitud de los elementos) , o al contrario para desplazamientos horizontales estos solo se tienen en cuenta en los elementos verticales.

Cuando adicionamos los efectos por carga axial estamos involucrando en la estructura los grados de libertad correspondientes a los acortamientos y alargamientos de los elementos, lo que conduce a que tengamos que plantear los D relativos entre extremos de elementos en función de los desplazamientos horizontales y verticales de los nudos en que concurren los extremos de los elementos.

Cómo adicionar de una forma sencilla los efectos de carga axial, cortante y el hecho de tener desplazamientos en cualquier sentido de la estructura en el análisis por el método de la rigidez ?

Ya otros nos han quitado la posibilidad de responder esa pregunta planteando lo que conocemos el método de la rigidez directa.

El método parte de los mismos criterios del de pendiente-deflexión: planteamiento de ecuaciones de equilibrio en el sentido de los grados de libertad libres, planteamiento de ecuaciones de compatibilidad y planteamiento de ecuaciones que relacionen las fuerzas con los desplazamientos. A continuación presentamos en forma de ecuaciones de matrices la metodología de los métodos de rigidez en general:

1. Ecuaciones de equilibrio:

uc?id=1aFGz9NvQK8B sD4PGND cyJzT3nPsM82

El planteamiento de estas ecuaciones de equilibrio en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres se puede expresar matricialmente como:

donde:

uc?id=1IB82R dGSRb9PoJmYN63wnKM n2ipyT: son las fuerzas y momentos de extremo de los elementos, en este caso desconocidas.

: representa las fuerzas y momentos aplicados externamente en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres

: es la matriz estática de la estructura, o sea aquella que resulta de plantear las ecuaciones de equilibrio

2. Ecuaciones de compatibilidad: Son aquellas que expresan los desplazamientos de los grados de libertad de cada elemento en función de los desplazamientos de los grados de libertad libres de toda la estructura.

        DESPLAZAMIENTOS ROTACIONES

donde:

uc?id=1vGJmeT74bK7UQ6D11PGhPYWKriFhggz8deformaciones internas de los elementos, por ejemplo desplazamientos o deformaciones axiales y desplazamientos perpendiculares al elemento, estos se dan medidos con respecto a unos ejes locales del elemento que van uno paralelo al eje axial del elemento llamado ”x” y otros dos ejes perpendiculares a este llamados “y” y “z” designados siguiendo la regla de la mano derecha.

uc?id=127U zxxDj8UstL CbdLZgHnqKuf TgTwrotaciones de extremos de los elementos con respecto a su eje axial y medido en contra a las manecillas del reloj

uc?id=1SV MUoYhRF2zSllwcN1fpeQracq8OjVudesplazamientos tanto vertical como horizontal de toda la estructura en sus grados de libertad libres, medidos con respecto a unos ejes generales X, Y y Z.

uc?id=1KdQNBbeyJIvyptLkYfgSdhXE94QNBj3g rotaciones de toda la estructura en sus grados de libertad libres, medidos con respecto a unos ejes generales X, Y y Z, llamados ejes globales de toda la estructura.

3. Ecuaciones de relaciones fuerza -desplazamiento: Estas relacionan las fuerzas y momentos de extremo de cada miembro con sus desplazamientos y rotaciones. Ojo es de cada miembro y no de la estructura general.

uc?id=1WY0li33gZoR2Rn0lpz4BAQQAE227Vimd  y     se puede en general simplificar diciendo que las uc?id=1V7fjR SlFTVc8ONanQmRT corresponden tanto a fuerzas como a momentos y que las  uc?id=1h3AYUQ2TjqtX7221uQl2WwIDzdvGtsu8 corresponde tanto a desplazamientos como a rotaciones.

uc?id=1KhLz zU8EGyVwhX 7H7IMmW9t9ZIhgYJes la matriz de rigidez de los elementos

El método tiene por objetivo encontrar los desplazamientos Δ y rotaciones θ de toda la estructura.

Pasos a seguir:

Expresamos las ecuaciones de fuerzas internas en función de los desplazamientos externos de toda la estructura:

llevamos estas ecuaciones a las de equilibrio:

uc?id=10phvBcNQ8MnDHWpYmr1Al8kpgAKmjwID

si expresamos el término uc?id=1OJXiv3u2psya 3IIrRYIiKalyqaPzte6como la rigidez general de toda la estructura uc?id=1cQ8srxi42bRJ 86V2LkSLOk78 4hBXJI, tenemos:

uc?id=11WxjZabk1Q1sfvoPpeDBuX uotHCztBb

esta ecuación tiene solución para los Δ al invertir la matriz de rigidez y multiplicarla por el vector de fuerzas P.

Una vez conocidos los desplazamientos de los grados de libertad libres procedemos a encontrar los desplazamientos de extremo de elemento:

uc?id=1B87Qfnp9JJBmG8RQQOB0BU6OZWtDOpej

con estos encontramos las fuerzas de extremo de los elementos:

Note que en las ecuaciones de equilibrio no se incluyen las reacciones, por lo tanto este método no encuentra de una forma directa las reacciones, estas se determinan al considerar las fuerzas de extremo de los elementos en función de los desplazamientos.

Hemos planteado el procedimiento general el cual requiere del planteamiento de la matriz de rigidez de los elementos en función de los desplazamientos y giros de sus extremos. Esta matriz ya la habíamos planteado al expresar las ecuaciones de pendiente deflexión. Recordemos que partimos de miembros con extremos fijos y vamos soltando de a un grado de libertad y determinamos como varían las fuerzas al producirse ese movimiento:

PLANTEAMIENTO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS:

Partimos de un elemento tipo viga con todos sus grados de libertad restringidos

uc?id=1 6Phc K 7tfPLKyO4C3pYlfj4HB8m6QE

Seis fuerzas de extremo de elemento que debemos expresar en función de los desplazamientos por medio de la rigidez. (rigidez: fuerza necesaria para producir en desplazamiento unitario)

uc?id=1cv83d0dPD7FvxWaNxnlhQ

uc?id=18uMtRO73NLcFqbn5MK5yPmXbVw4chibz

Encontraremos la matriz de rigidez que asocia cada desplazamiento con la fuerza que produce en el extremo:

1.Para la primera casilla de la matriz de rigidez se refiere al grado de libertad a1, desplazamiento en x del extremo a del elemento:

uc?id=1 dC7PtMwiQIVcdutfIVK5DBFLmImIPJX

uc?id=1bqQrnbjy3wzxo0 ma0wdjn bQPSEcI82

las demás fuerzas de extremo son cero. En el caso de soltar el grado de libertad correspondiente a eb1 también obtendríamos el mismo resultado.

Podríamos representar el primer vector de la matriz de rigidez como:

uc?id=1 ctvz WGQPRCAfiR Hsj2KiPuLMekZY0

similarmente para el vector 4.

2. Liberemos el grado de libertad correspondiente a una reacción vertical en el extremo B, o sea en esta nomenclatura el eb2 y aplicamos la fuerza fb2

Resolviendo por el método de las fuerzas tenemos:

uc?id=1gcfW67sDhCrHmZAuyJ6Bqd0JHufqdleU

uc?id=1yfFRXvdQIB

uc?id=10OLtkepHoBo91IG7QR09vLuRWGopyi4D

uc?id=16qGQN6pHEsS J

uc?id=1vEESVJdq0SEcy7L33aLZOAR6 EfPhtMQ

resolviendo para las fuerzas cortantes de extremo tenemos:

uc?id=1n2P7N7ftucGJWsRmV bh9taiveL2FZFO

uc?id=1DBTFqVViIj0PPhEdcN1kmU8Jz0RgLihW

uc?id=1RsQQa

Para este tipo de desplazamiento nuestro vector queda:

similar cuando soltamos el grado de libertad ea2 pero con diferentes signos.

3. Soltamos el grado de libertad de rotación en el extremo A o sea ea3.

uc?id=1DiY9sWG4qcHB7k6AX252f2eqjv5NhCFk

uc?id=1S1Rm0RUlvLt6FY4lK3FR9k1ggP52K N

uc?id=1hjwDfjKiH HnH6XH tti33es3EpwWlSS

uc?id=1KMc0QXgliOEBNkOUzTVU6bZt0sLvj8Fd

de dondeuc?id=1sfQKVKRBPt27gi4 o 5Qa8nf4gcL6DoI

expresemos el Ma en función de la rotación del extremo A

uc?id=1iAZm iZlQDNpqdMtvmaWXdPRJqcmscDZ

uc?id=18 Cfbyu2S8xJX RmH5r73Abf3R3WhiEK

uc?id=1G7jmqIKwwQOP yHPmK3EY4bvIQekRkd7

Expresando esto con la nomenclatura planteada tenemos:

uc?id=1Rmze8VNjE9MwA DgfGVB3nvLmQh6w yi   y  uc?id=13IVJDbcXNtj aS0XSycmZmoC5cSwlOd

Cortantes asociados a estas rotaciones:

uc?id=10UkGNKBygKv5n

uc?id=1q8EZDRxWhMQLjGXyfNW

uc?id=1kP2IlLZ16sst2 lRI1YwlRVaHZQPHvEO

uc?id=13TmAy 282AcZNtG3lL AsMllzpljrSz2

uc?id=1oL1 YZ0D8BEcHmJDFZguBzsKAgozA5SS    y    uc?id=1zQgSnCaZEhB9nAs kNVHO0i1M41SmFvR

Armando toda la matriz de rigidez del elemento tenemos:

uc?id=1dEIreDltrOqjgpXsbEwdKgkkukSPZ ar

Se puede simplificar esta matriz si la dividimos en submatrices

donde kaa representa la rigidez que asocia fuerzas del extremo a con deformaciones del extremo a, kab asocia fuerzas generadas en a por desplazamientos del extremo b.

PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

EQUILIBRIO: Cualquier desplazamiento o giro en un extremo del elemento produce fuerzas que se encuentran en equilibrio. Ejemplo de un asentamiento en un extremo

MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO: Si el elemento se mueve sin sufrir deformaciones internas las fuerzas de extremo que genera serán nulas.

uc?id=1p4u0e9T5hZ zALkTSyucv2BPINPWtty

Al aplicar un desplazamiento general sin deformación tenemos:

uc?id=12JQWT71BFAKhwGhzNTml4y urb1gTunr

uc?id=1Q5CChDmwymUWYQhwnujqLGwyqjI7hMOO

uc?id=1fR6JVdga4BXMXjHUu0JNyfJ7GiRhn2 M

Si hallamos las fuerzas asociadas a estos desplazamientos por medio de la matriz de rigidez encontramos que son nulas:

uc?id=1aCbUrW wFLMwr8ULQTg9Ovl6zcfo371W

SINGULARIDAD: La matriz de rigidez no tiene inversa ya que sus ecuaciones no son independientes sino redundantes. Para que tenga solución se necesita restringir algunos grados de libertad para hacer el elemento estático.

SIMETRÍA: Se cumple la ley de los desplazamientos recíprocos.

 

CORRECCIÓN PARA ELEMENTOS CON EXTREMOS ARTICULADOS

Para elementos que tengan uno o los dos extremos articulados podemos hacer una corrección a la matriz de rigidez tal como se usó por el método de la distribución de momentos. Es como decirle a ese extremo que no tome momento por empotramiento. Esta corrección se hace multiplicando la matriz k por una matriz de corrección (c ) que elimine la restricción en ese extremo.

Este elemento en su extremo a no puede tener momento de reacción, o sea Fa3=0

uc?id=1KVS9uoGVvDW4zT7PGXzHAvPsB4f0ewco

se puede despejar  en función de los otros desplazamientos:

uc?id=1TQCT8GYeei5r

se pueden entonces expresar un vector de desplazamientos corregido expresando la rotación del extremo a en función de los otros desplazamientos del elemento.

uc?id=1rNmdu6Wld2KBTHyqJ7gPsRNy5LfqKwdj

entonces expresado en la matriz de rigidez del elemento tenemos:

uc?id=1HLMEtAaAztdZ8UFY5bhlLKGUu2PnlFzU

donde:

  es la matriz de rigidez modificada por articulación en el extremo a.

Se procede de igual manera para articulación en el extremo b y para elemento con ambos extremos articulados.

La matriz correspondiente a articulación en b sería:

Para elementos tipo cercha la matriz de corrección está dada por:

uc?id=1mq8Lh1SwHTFoNbfrDa4X5M8oIs8Mz6jN

esta matriz se obtuvo de resolver simultáneamente las ecuaciones de momentos fa3 y fb3 igualándolos a cero y expresando los desplazamientos Δa3 y Δb3 en función de los otros grados de libertad.

Matriz de rigidez corregida para elemento tipo cercha, se eliminan la 3ra la y 6ta filas y la 3ra y 6ta columna:

uc?id=1Bp5L4ok5ZM1D3ZenW0Zc4ginQEzpfWAT

Con estas matrices quedan expresadas las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones y de relaciones fuerzas desplazamiento, queda por definir el equilibrio en los nudos.

 

MATRIZ DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES:

Esta matriz sirve para relacionar los desplazamientos de extremo con los movimientos generales de toda la estructura en sus ejes globales, también se conoce como matriz de transformación de coordenadas.

Su planteamiento asume entonces una conversión de ejes locales de los elementos a ejes globales de estos:

uc?id=1Pso 7EAeCWQCYPNotouT3C4Qf9AahD3M

uc?id=186jSGa1EerT1d27huWM6mJzdnNefPo2q

uc?id=1DVZiSVvLJ eNyG7Ds5KyGYqiiElq6lQS

lo mismo para las fuerzas del extremo b

La matriz de transformación de coordenadas corresponde a la matriz de compatibilidad de fuerzas y se expresará con la letra λ. Note que esta matriz es para fuerzas y no para desplazamientos.

uc?id=1BdvytD2UW ZSq nEwYCgYdoWUlITWiZH

sabemos que:

uc?id=1faDeDNColityGPoUZExDg8ndoq UmCc2

en esta ecuación multiplicamos a ambos lados por la matriz λ

uc?id=1IJrLNUlSHXSaIuzsspvSZrpGD pyRNP

donde:

uc?id=1VLFAst7BgJlouqFB0tnRG12FqfDdgMfu

reemplazando tenemos:

estas son las fuerzas de extremo de elemento en coordenadas globales expresadas en función de los desplazamientos en coordenadas locales.

Debemos expresar estas fuerzas en función de los desplazamientos globales para lo cual necesitamos expresar los desplazamientos e en función de los desplazamientos Δ.

Volviendo al mismo planteamiento de ejes, tenemos:

uc?id=1 HReyEWXgocnOhDD4upOOveUjqm4gWzb

uc?id=1vVjzUD1qK9QkT O5u7EMBHdv7W9zbGcd

que es similar a:

uc?id=1UJZD pxk2m oI4q8rl3DfZXZiqHHIQbn

si aplicamos lo mismo a los desplazamientos del otro extremo, podemos expresar todos los desplazamientos de los extremos de elementos en función de las coordenadas globales de la estructura.

uc?id=1P4SKjPqhhpOwso8tYK70mK9q4RlgP2mr

reemplazando esta ecuación en la de fuerzas tenemos:

uc?id=1w7J3z dXMSJ

de esta manera llegamos a obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales uc?id=1S, realicemos esta operación con la matriz de los elementos ya planteada:

uc?id=1t8cY7AiM7JaUIPrhzmDJw1Frdttdujd4

definitivamente estas matrices es mejor manejarlas por submatrices de 3×3

El resultado de esta multiplicación entre matrices es una matriz de 6×6 :

esta matriz sigue cumpliendo las propiedades de la matriz de rigidez de los elementos en coordenadas locales.

Cuando el ángulo q es igual a cero entonces debe dar igual a la matriz en coordenadas locales.

Esta matriz se expresa de una manera mas sencilla si:

uc?id=1U G2pyiMSqf7o0T4yu6oAqcl50myZTMJ

uc?id=1sm u tEGs6aeR

uc?id=1q3k0jM

uc?id=1yTFDgzLIoEllJLQJ8J3e4Gu5Zc5U4oZy

uc?id=12T3G4bei1RqhVZSOvXjw79RgA fjWwVf

uc?id=1LHyiRggOnKJBddEVY5U0GP1VYl5EQSBI

EQUILIBRIO EN LOS NUDOS

El planteamiento de las ecuaciones de equilibrio para los grados de libertad libres de cada nudo de la estructura nos lleva a expresar unas ecuaciones en función de las fuerzas de extremo del elemento.

uc?id=1MCN3MrJuDcheXSnrbHkhIA9BV3XFI HT

 

Equilibrio en el nudo S:

uc?id=1l2Z VfZbS3fpyA9KRp34h7lenkbjV9Uu

uc?id=1P3kUxE fezvVydBUcGdMwR zlNE z0jh

uc?id=1GNAH 9YGmJZZk418W iHeWFEoWo4g4pV

 

reemplazando estos valores en la ecuación de equilibrio e igualando a cero los desplazamientos de los grados de libertad restringidos, tenemos:

uc?id=1JCaLVaflFY0P9dkbAo Vn5SlZzY84ZpV

equilibrio en el nudo T:

Asi quedan dos ecuaciones con dos incógnitas que corresponden a los desplazamientos de los nudos s y t.

uc?id=1TdoeVPC0NcFfKk oEetn3OKJKPH82RUV

entonces podríamos decir que esta matriz que suma parte de las matrices de rigidez de los elementos constituye la matriz de rigidez de toda la estructura. Note que en esta matriz en las casillas de la diagonal se suman las rigideces de los elementos que convergen a un nudo y en las otras casillas se colocan las rigideces de los elementos que unen dos nudos.

En el caso de que tengamos fuerzas de empotramiento perfecto en los elementos entonces:

al remplazar los valores de las fuerzas de extremo de los elementos en las ecuaciones de equilibrio se incluyen los términos de las fuerzas de empotramiento perfecto quedando las ecuaciones de equilibrio como:

se puede encontrar un sistema general de cargas en los nudos donde se incluyen tanto las cargas externas aplicadas directamente en ellos como las cargas de empotramiento perfecto.

uc?id=1L8zDt agWe1lSSvB6Mi0baSYKu0WG7Vl

se resuelve para Δ y se retrocede en el sistema de ecuaciones hasta encontrar las fuerzas de extremo de elementos en coordenadas locales. Note que en la ecuación de fuerzas F=k.Δ+FEP están incluidas las fuerzas de empotramiento perfecto en coordenadas globales.

ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Debido a que las incógnitas a despejar son los desplazamientos de los grados de libertad libres entonces las rigideces relativas a ellos son los que alimentan la matriz de rigidez general de la estructura. Para que nos quede la matriz en orden debemos numerar los grados de libertad libres primero conservando el orden de los ejes globales. Los grados de libertad restringidos también se numeran para integrarlos en el problema ya sea que se quiera resolver una estructura con un movimiento conocido en un grado de libertad restringido o para hallar reacciones.

Se numeran los elementos y los nudos, se determinan los sentidos de los ejes locales de los elementos definiendo el extremo a y el b de cada uno, siempre el eje local 1 va de a a b y el ángulo entre el eje local y global se mide de local a global por la regla de la mano derecha.

El ensamble de la matriz es tal que las casillas de la diagonal se llenan con las rigideces de los elementos que convergen en un nudo y las otras con las de aquellos elementos que sirven de unión entre dos nudos de la estructura.

uc?id=1xVvbjAbkf OfAmUdtBL5fyRTZvWr2LO

Cada elemento de la estructura tiene su matriz de rigidez en coordenadas globales, en este caso el elemento 1 queda:

 

7            8            9           1             2             3

uc?id=1GWi0L3TyznrEiYdr8nh lJpqAQb2Fu26

1             2             3           10           11       12

uc?id=1i2wgzR8sikfmHs8Y3OUHp4B2pAO J8O5

1           2            3             4            5           6

en estas matrices se numeran las filas y columnas con los números de los grados de libertad tal cual están en la estructura, el ensamble de la matriz de rigidez total se hace numerando las filas y columnas con los grados de libertad libres y restringidos de toda la estructura y las casillas de las matrices de los elementos se van sumando en la posición correspondiente en la matriz de rigidez. Para la casilla 1,1 de la matriz de rigidez total se insertan las casillas numeradas con 1,1 en las matrices de los elementos 1, 3 y 2 ya que ellos están asociados con el grado de libertad 1.

1                                  2

Así todos las fuerzas relacionadas con un desplazamiento en un nudo dado o en el nudo del otro extremo del elemento se van sumando a la matriz de rigidez total. Expresando esta matriz como submatrices tenemos:

1 2 3 4 5 6

uc?id=1

En el caso de que queramos resolver para las reacciones el montaje de la matriz de rigidez debe incluir los grados de libertad restringidos:

donde cada termino de esta matriz representa una submatriz de 3 filas. Note que los desplazamientos de los grados de libertad restringidos son iguales a cero.

La matriz de rigidez total, incluyendo los grados de libertad restringidos quedaría:

uc?id=1Q9O7X889Kh93NiHNfkVmcX0uMuTogBB1

expresando esta ecuación en términos de submatrices tenemos:

uc?id=1apRNHyLumRMa

donde:

F23= fuerzas externas aplicadas en los nudos 2-3, estas fuerzas son conocidas

F345= fuerzas aplicadas en los nudos 3, 4, 5 . Corresponden a reacciones y son fuerzas desconocidas

GLL= fuerzas o desplazamientos de los grados de libertad libres

GRL= fuerzas o desplazamientos de los grados de libertad restringidos

KLL= submatriz de rigidez de 6×6 que relaciona las fuerzas en los nudos con grados de libertad libres con los desplazamientos de los grados de libertad libres.

KRL= submatriz de rigidez de 6×9 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad libres (nudos 2 y 3) con los desplazamientos de los grados de libertad restringidos (nudos 3,4,5)

KLR= submatriz de rigidez de 9×6 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad restringidos con los desplazamientos de los grados de libertad libres

KRR= submatriz de rigidez de 9×9 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad restringidos con los desplazamientos de los grados de libertad restringidos.

ΔGLL= desplazamientos en los grados de libertad libres, son desconocidos.

ΔGLR= desplazamientos en las restricciones, estas son iguales a cero.

Realizando las ecuaciones:

uc?id=1Q4Ovu8H7eq3h hRMILhq4MZIDFP73t5z

uc?id=1HlAJoBjr6RKh5 WTYEftU3KjGrSIVRtM

entonces en la primera ecuación se encuentran los ΔGLL, invirtiendo la matriz de rigidez correspondiente a los grados de libertad libres, una vez conocidos estos desplazamientos podemos encontrar las fuerzas en los nudos 3, 4 ,5 (reacciones) por medio de la segunda ecuación.

 

CONDENSACIÓN DE UNA MATRIZ DE RIGIDEZ

La condensación es el un método que nos permite reducir la cantidad de incógnitas a determinar en un análisis estructural o el tamaño de la matriz de rigidez a invertir.

La condensación se da por igualación de grados de libertad o eliminación de ellos como incógnitas al despreciar deformaciones axiales o también por tener ecuaciones en la matriz de rigidez que estan asociadas a fuerzas externas mas fuerzas de empotramiento iguales a cero.

Explicaremos primero la condensación por medio del ejemplo del pórtico desarrollado en clase despreciando deformaciones axiales.

uc?id=130YydtiUO KPMYOi3SrW5WsPk jZkQbz

Al montar la matriz de rigidez de toda la estructura de este ejemplo tenemos:

1 2 3 4 5 6

uc?id=18FIY sJUQiLCJXSg97GuWfn362 om6h

Esta matriz se puede expresar como:

uc?id=1sHg4HYPLGCwwJ1p 04T4ZQV8r1Mr7dmkdonde cada submatriz es una matriz de 3×3

Si despreciamos las deformaciones axiales vemos que podemos expresar unos grados de libertad en función de otros que los vamos a considerar independientes, esto nos lleva a plantear unas ecuaciones de ligadura entre los grados de libertad:

ecuación que expresa que la viga no se estira ni se encoje.

ecuación que nos dice que la columna 1 no tiene deformaciones axiales y adicionalmente nos dice que el desplazamiento en el sentido del grado de libertad 2 es igual a cero.

uc?id=1P7EiMm7LFhp01zt6MaIL z OS4DsZvPqecuación de la columna 3.

Al considerar las ecuaciones resultantes de la multiplicación de las matrices K y Δ

uc?id=1ULGorsj7pUDjRwuOq hkmUQH5KcmPlMv, observamos que todos los coeficientes que multiplican a los desplazamientos de los grados de libertad 2 y 5 (Δ2=0 y Δ5=0) se pueden tachar de la matriz ya que ellos al multiplicar por cero no aportan nada a las ecuaciones de equilibrio de la estructura. En este caso la matriz de rigidez quedaría reducida a una matriz de 6 filas y 4 columnas. Para reducirla a una matriz de 4×4 consideramos que las fuerzas en los grados de libertad 2 y 5 no dependen de sus propios desplazamientos sino de los desplazamientos en los otros grados de libertad, por lo tanto no son independientes sino dependientes. Se reorganiza la matriz de rigidez de tal manera que las ecuaciones independientes queden en la parte superior y las dependientes abajo. Así ya obtenemos una matriz de rigidez de 4×4, donde hemos condensado las deformaciones axiales de las columnas.

El tratamiento con el grado de libertad 4 es diferente ya que este no es cero. Si miramos la matriz de rigidez dentro del contexto F=k*Δ, cada fila de ella contiene unos factores que multiplican a cada una de las deformaciones de los grado de libertad libres y se iguala cada una de las fuerzas en ese sentido. En el caso del grado de libertad 4 vemos que Δ1=Δ4, entonces en las ecuaciones de rigidez podrimos decir que los términos que multiplican a Δ4 se suman a los terminos que multiplican a Δ1; esto es la columna 4 de la matriz de rigidez se puede sumar a la columna 1 y no se ha alterado el resultado.

La matriz resultante queda en este momento de 4 filas por 3 columnas, que pasa con esa fila que sobra?. Bueno esa fila corresponde a F4 la cual por equilibrio de la viga sabemos que es igual y de sentido contrario a F1 (sin deformaciones axiales), entonces se pueden sumar las filas 1 y 4 y se igualan a la fuerza del grado de libertad 1.

uc?id=1wqHY971f4zd8oQ78A7ajOtImMICzBKUJ

La matriz queda:

1 3 6

uc?id=1KNRfpMGIiqXlyANOKf6ZSgJD4guKn1HY

Esta matriz es de3x3, mucho menor a la que se había considerado al principio. Todavía podemos pensar en otra condensación para esta matriz considerando que la única fuerza externa para la que la vamos a resolver es la fuerza aplicada en la dirección del grado de libertad 1. La ecuación de equilibrio con esta matriz se puede expresar de la forma:

uc?id=1fTTe4yjzemMazPj5rllPggusZFBocvDl

donde la matriz de rigidez se ha fraccionado en submatrices ko de 1×1, k2 de 1×2, k3 de 2×1 y k4 de 2×2.

Expandiendo las ecuaciones de la matriz tenemos:

uc?id=1mPltl2ELFQgaldaMMq7sSA72bQYAFEdW

uc?id=1P4VHnzHaRFo8ksANwH1KQO4lN9w8IuDS

de la segunda ecuación podemos despejar en función deuc?id=1JEskQsa54ZQt 1OjbhMlqX6Tk2WGf 4S y reemplazar en la primera ecuación.

uc?id=1snQtOYIyOb9yIgV3rZbS255iO NUr0D9

note que la solución para Δ1 correspondería a dividir la fuerza por la cantidad numérica que resulta de multiplicar las submatrices dentro de los corchetes ( tenga en cuenta que este resultado da un número y no una matriz). En conclusión la única matriz que se tuvo que invertir es la matriz k3 que es de 2×2, el problema se redujo considerablemente. Por otro lado si lo que queremos obtener es la rigidez lateral del pórtico está estará dada por .uc?id=1bCJlpFbUXpnVGmE Gmpa35pQmKySwbJj

La primera condensación realizada corresponde a ecuaciones de ligadura y esta ultima condensación corresponde a las ecuaciones de equilibrio.

Esta metodología se puede expresar en forma general por medio de matrices.

FORMA GENERAL DE CONDENSAR UNA MATRIZ

Se plantearán ecuaciones generales pero se expresan para el ejemplo del pórtico.

El primer paso después de tener la matriz de rigidez de toda la estructura es plantear las ecuaciones de ligadura entre los grados de libertad dependientes y los independientes:

Ligadura:

uc?id=12aX3xKI lpP yerDiIXFu9Rvh3YtayIH

Esta ecuación queda:

uc?id=1Oji6UjfSbk6PK06nj2WXivi27fWDWj6r

uc?id=17O10MjcSI5Xr7nuajBFKdZ wszPLaLty

Esta ecuación queda:

uc?id=11v0vnwfwek39Ztr43B4K15z9C7aO7Rcy

ecuación de la columna 3 y quedauc?id=1UFZfHh6gxnHejOHwl6bbT

Ecuaciones de ligadura:

Donde A es la matriz que contiene estas ecuaciones

uc?id=1n74d27TcSMa1jzVsU3sJObO361TBF5Li

reorganizando los Δ de tal manera que arriba queden los independientes y abajo los dependientes y particionando esta matriz, tenemos:

uc?id=1fQbDD8LSHm3KjAOBDFTsQ 9sr0ypQYko

donde Ao es una matriz que multiplica a los desplazamientos independientes y A1 a los desplazamientos dependientes, desarrollando las ecuaciones de esta multiplicación matricial:

uc?id=1hLmP9f6lEjZuDut0mGzQ74tSIlZ8RLWK

uc?id=1bhW3f24 afqCRR9IOjepvh0KVQl8I4lz

uc?id=16XRyuFBsxR5FpzP 4nR5GTiK9I jkVrY

de esta manera encontré los desplazamientos dependientes en función de los independientes

de tal manera que puedo convertir los Δ de 6×1 en función de los Δ independientes así:

uc?id=1YYoCiDVYYmGTjgATqvKW09opgRZFbXV7

expresado en todos los grados de libertad tendríamos:

uc?id=1HOxoFVs a YsXaiup soRIXubSMytnBH

matriz R

Para poder incluir la matriz R en la ecuación de rigidez debe estar organizada igual que la matriz de rigidez general de la estructura o sea en el orden de los grados de libertad, una vez intercambiadas filas y columnas de podemos expresar la ecuación como:

uc?id=1CTu2u 1v5s FWfF

ecuación 1

sabemos que

uc?id=10vYDuajp5nDH7Qfavyh1OMf6jNaRl47z

ecuación 2

y por ley de Betty y transformación de la matriz de rigidez tenemos:

uc?id=1c97LfH4M4HedgpdvA MLF 3jK9su0GZs

ecuación 3

reemplazando las ecuaciones 1 y 3 en la ecuación 2:

uc?id=1MkYEFMZVSSaLXOIPK8D1zWiPLC7pymda

De esta manera condensamos la matriz de rigidez y queda por resolver un sistema de 3×3. Falta la condensación por las ecuaciones estáticas o sea aquella que se hace porque las fuerzas externas en algunos de los grados de libertad independientes son cero. En el caso del pórtico sería dejar todo en términos de Δ1.

uc?id=1Ekqb5K kR KRcqV4255U2DmfMnc5SX02

de aquí en adelante se siguen los mismos pasos explicados en el ejemplo para resolver la ecuación en función de los grados de libertad libres, independientes y que tengan fuerza externa aplicada en ellos. Esta fuerza externa también puede ser por fuerzas de empotramiento perfecto ya que el sistema que se resuelve es para el vector de fuerzas aplicadas directamente en los nudos menos el vector de FEP.

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La ingeniería civil es la disciplina de la ingeniería profesional que emplea conocimientos de cálculo, mecánica hidráulica y física para encargarse del diseño, construcción y mantenimiento de las infraestructuras.

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