Conceptos Estructurales para el Ingeniero Residente – Genaro Delgado Contreras

Conceptos Estructurales para el Ingeniero Residente - Genaro Delgado Contreras

El Ingeniero Residente es el Representante Técnico del Ejecutor de la obra (Contratista). Debe ser un Profesional de la Ingeniería (o Arquitectura), con los conocimientos técnicos necesarios para velar por la adecuada ejecución de la obra de acuerdo con los planos del proyecto, las normas técnicas de construcción, la planificación estipulada y las condiciones acordadas legalmente con el contratante de la obra.

Les traigo un documento que cuenta con los criterios Estructurales para el Ingeniero Residente

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Aplicación CivilArq Vigas

APLICACIÓN CIVILARQ VIGAS

CivilArq es una aplicación android que te permite calcular la cuantía para una sección rectangular

¿Qué es cuantía de área de acero?

Las fallas a tensión están precedidas por gritas grandes en el concreto y tienen un carácter dúctil. Para asegurar que las vigas tengan características de adherencia visibles, si la falla es inminente al igual que la ductilidad razonable en la falla se recomienda que: El área de acero a tensión en vigas simplemente reforzada no exceda a 0.75 del área para una falla balanceada, dado que ρ ≤ 0.75 ρb (para asegurar falla dúctil) donde: ρb es la cuantía balanceada para elementos sometidos a flexión sin fuerza axial

   

Descarga directa de la app android:

Aplicación Android
Descargar "CivilArq 2.0.1"

APPS PARA CÁLCULO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES

APPS PARA CÁLCULO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES

APLICACIONES PARA EL CÁLCULO ESTRUCTURAL

Se trata de una selección de herramientas que creemos que les pueden resultar treméndamente útiles, entretener en nuestro tiempo de ocio, e, incluso, aprender unas cuantas cosas.

Me ha parecido buena idea compartir con ustedes estas aplicaciones de LetsConstruct y Softwel, así que vamos a ver algunas apps de construcción útiles para realizar cálculos estructurales

EMPRESA: LetsConstruct

APLICACIONES PARA EL CÁLCULO ESTRUCTURAL
APLICACIONES PARA EL CÁLCULO ESTRUCTURAL
Elementos finitos a su alcance

Entre sus principales aplicaciones se encuentran las siguientes:

APLICACIONES PARA EL CÁLCULO ESTRUCTURAL

DESCARGAR

BeamDesign

Este método de elementos finitos (FEM) aplicación es especialmente útil para los ingenieros civiles, ingenieros mecánicos, arquitectos y estudiantes que deseen diseñar marcos 1D hiperestáticas.
Puede introducir y editar la geometría, las fuerzas, soportes, etc. casos de carga Los resultados de los cálculos se realizan al instante.

FrameDesign

Este método de elementos finitos (FEM) aplicación es especialmente útil para los ingenieros civiles, ingenieros mecánicos, arquitectos y estudiantes que deseen diseñar marcos 2D hiperestáticas.
Puede introducir y editar la geometría, las fuerzas, soportes, etc. casos de carga Los resultados de los cálculos se realizan al instante.

Steel Profiles

secciones de viga para una variedad de países
– predefinidos de Europa, Estados Unidos, Canadá, Rusia, Reino Unido, perfiles de acero de Australia y Japón
– Secciones paramétricas (circular, rectangular, H, I, U)
– secciones de forma libre
– Métrico e Imperial (ver opciones)
– Inicia sesión para sincronizar sus favoritos a través de todos sus dispositivos.
Tenga en cuenta que esta aplicación también se utiliza para seleccionar una sección de nuestros FrameDesign y aplicaciones BeamDesign.

WeldDesign

Aplicación civil / estructural que haces de soldadura herramientas relacionadas. Le permite calcular si un soldado es lo suficientemente fuerte.
Características:
* Información sobre electrodos (palo, TIG, FCAW)
* Cálculos (combinación de estrés y de la unidad de verificación)
* MIG calculadora de velocidad de cable

ConcreteDesign

Aplicación de ingeniería civil para determinar la cantidad de refuerzo en una sección concreta de diseño preliminar.
Características:
* Comprueba reinfocement
* Comprueba la zona de compresión
* Comprueba craqueo
* Métrico y las unidades de EE.UU. (en Configuración)
* Integrado con nuestra aplicación de diseño de vigas
Explicación de los permisos:
* Se necesita almacenamiento tarjeta SD para poder enviar una imagen por correo electrónico (Usted encontrará una Dako carpeta en su tarjeta SD)
* Para los usuarios no profesionales, los anuncios de Google se están ejecutando, lo que requiere una conexión a Internet y el estado de la red de acceso. No hay tráfico de internet que sea se genera para los usuarios de Pro.

Concrete Properties

Este hormigón propiedades de la aplicación le proporciona un conjunto de cálculos relacionados con el hormigón.
Actualmente hemos incluido los cálculos del desarrollo de ECM y para hormigón fck edad temprana. Muestra los primeros 28 días de endurecimiento del hormigón.
Las variables sobre las que se basan los cálculos son del tipo de cemento, el FCK real a la edad de 28 días y la edad del hormigón en t días.
Caracteristicas
– los EEUU y en unidades métricas.
– Gráficos
Más características que proporcionarán en el futuro para nuestro concreto a edades tempranas Cálculos:
– Las posibilidades de exportación
– longitud de anclaje para barras de armadura
– Cantidades concretos para determinar la cantidad de hormigón y el refuerzo

Parallelogram

Encuentre rápidamente la resultante de dos fuerzas en cualquier dirección. Muy útil para la ingeniería civil / mecánica.
* Png exportación por correo electrónico
* Superposiciones de la cámara (ver segunda imagen)

Circle of Mohr 3D

Interactivo 2D y 3D Círculo de Mohr, muy útil para la ingeniería civil y mecánica.
Características:
– tensiones de entrada
– Principio de tensiones
– Touch o entrada de ángulo para ver las tensiones en cualquier dirección
– Imagen de la exportación

ChannelDesign

Le permite diseñar de forma interactiva caudal en canal abierto para rectangular, trapezoidal y formas rectangulares. Gráficos de su canal a escala y da salida a sus profundidades normales y críticos del agua.
* Incluye la opción de Compartir
* Incluye botón de votos
* Le permite a la anchura de entrada y la pendiente tanto de forma gráfica o textual
* Incluye formas predefinidas (triángulo, rectángulo, trapozoid)
* Incluye unidades de EE.UU.

SteelDesign

Esta aplicación de diseño de acero le permite determinar las tensiones elásticas en la parte superior y en el centro de una viga, teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre la viga sobre la base de la teoría de la “Huber-Hencky ‘. Fuerza axial, cortante doble y
doble curvatura están incluidos.
Características:
* Entrada Mx, My, Mz
* Tanto EE.UU. y las unidades métricas
* Seleccione un rayo arbitrario de nuestra Ingeniería App Libraries
* Salidas tensiones y verificación unidad
* Integración con nuestra aplicación de diseño 2D Frame.
* Exportación de posibilidades
* Gráficos

 

EMPRESA: Softwel (P) Ltd.

APLICACIONES PARA EL CÁLCULO ESTRUCTURAL
APLICACIONES PARA EL CÁLCULO ESTRUCTURAL

APLICACIONES PARA EL CÁLCULO ESTRUCTURAL

DESCARGAR

Es una empresa dedicada al desarrollo de software de ingeniería. entre sus principales aplicaciones tenemos:

SW Truss

SW Truss es una aplicación de análisis de elementos finitos para el análisis de armazones de avión estáticamente determinadas e indeterminadas. Esta aplicación es útil para los ingenieros civiles, arquitectos, ingenieros mecánicos y estudiantes.

Caracteristicas
geometría cercha -Construir mediante la adición de nodos y miembros gráficamente.
geometría del cuadro -Edit cambiando las coordenadas de nodo.
-Asignar Pin / bisagra o rodillo (horizontal / vertical) soportes.
cargas puntuales -Añadir a cualquier nodo, en cualquier ángulo.
-Definir y asignar secciones miembros con propiedades personalizadas (módulo de Young, el área de sección transversal)

-Calculates la fuerza axial en todos los miembros y las muestra gráficamente.
-Calculates apoyar reacciones.

-Calculations se realizan inmediatamente.

calculadora científica -Empotrados para la entrada.
-Guardar y abrir armaduras creadas.
-Compatible con gestos multi-touch (Una pizca de zoom).
-Genera informe de análisis como archivos PDF.
-Compartir proyectos con otros usuarios, o exportarlos para su uso posterior.

Este producto se hace en Nepal y es gratuito (no hay Anuncios). Si usted encuentra este útil, por favor, que tus amigos sepan que usted ha utilizado un producto de Nepal. Sobra algún momento para visitar este maravilloso país y conocer a la gente de Nepal.

SW FEA 2D Frame Analysis

SW FEA es una aplicación de análisis de elementos finitos para el análisis de marcos planos estáticamente determinadas e indeterminadas. Esta aplicación es útil para los ingenieros civiles, arquitectos, ingenieros mecánicos y estudiantes.

Caracteristicas

geometría del cuadro -Construir mediante la adición de nodos y miembros gráficamente.
geometría del cuadro -Edit cambiando las coordenadas de nodo.
-Asignar fijo, con bisagras y soportes de rodillos. Apoyos de rodillos se pueden añadir en cualquier ángulo.
cargas puntuales -Añadir a cualquier miembro, en cualquier ángulo. También añadir cargas de momento.
uniforme -Añadir o variación lineal distribuye las cargas en cualquier ángulo con respecto a un miembro.
-Añadir conexiones internas de pins a cualquier miembro.
-Calculates fuerzas internas debidas a apoyar desplazamientos.
-Calculates apoyar reacciones.
-Genera fuerza axial, fuerza de cizalladura y de flexión diagramas de momento. También calcula y dibuja variación de la pendiente y la curva elástica deformada.
-Draws diagramas de cuerpo libre de los miembros individuales.
propiedades de la sección -Modificar (módulo de Young, momento de inercia, área de sección transversal) para los miembros individuales

-Calculations se realizan inmediatamente.

-Utilizar unidades métricas o imperiales.
calculadora científica -Empotrados para la entrada.
-Guardar y abrir marcos creados.
-Compatible con gestos multi-touch (Una pizca de zoom).
-Genera informe de análisis como archivos PDF.
-Compartir proyectos con otros usuarios, o exportarlos para su uso posterior.

Este producto se hace en Nepal y es gratuito (no hay Anuncios). Si usted encuentra este útil, por favor, que tus amigos sepan que usted ha utilizado un producto de Nepal. Sobra algún momento para visitar este maravilloso país y conocer a la gente de Nepal.

Cómo crear apps sin saber programar con App Inventor, Thunkable, Makeroid y AppyBuilder

Te preguntaste como puedo crear apps fácil. En esta ocasión les traemos artículos para los desarrolladores y los amantes de la programación. Pero crear apps sin saber programar también es posible gracias a alternativas como:App Inventor, Thunkable, Makeroid y AppyBuilder de manera rápida y sencilla.

Construyendo una app por bloques

Para todo el que no la conozca aún, se trata de una aplicación para poder hacer aplicaciones gracias a un sistema muy intuitivo a base de bloques que se van conectando a modo de puzzle, lo que la convierte en una manera muy interesante de montar tu propia app.

hacer aplicaciones gracias a un sistema muy intuitivo a base de bloques

 

De esta forma, tendremos una experiencia muy visual al crear la app.

 

CÓMO CREAR APPS SIN SABER PROGRAMAR CON APP INVENTOR, THUNKABLE, MAKEROID Y APPYBUILDER

así como esta plataforma existen varios entre los cuales tenemos:

App Inventor

App Inventor
App Inventor

El MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts) es uno de los centros que más innovan en el mundo. La herramienta en la que nos fijamos hoy, App Inventor, ha sido creada con ellos como una solución para todos aquellos usuarios que quieran crear una aplicación pero no tengan conocimientos de programación.
Como es una herramienta de código abierto, cualquiera puede utilizarla de forma gratuita. Uno de sus principales destinatarios son los educadores, que pueden introducir App Inventor como una herramienta para que los estudiantes de informática o de ciencias den sus primeros pasos en el mundo de la programación. También para crear contenidos de apoyo para sus propias clases, lecciones y asignaturas.

Ya hay dos versiones (la segunda mejora aspectos de la primera), y funciona directamente desde un navegador, simplemente accediendo con el usuario y contraseña de una cuenta de Google. Las apps resultantes son compatibles con los dispositivos Android, y la forma de construirlas es a través de bloques, que se van combinando según las necesidades de cada momento.

Las apps que se consiguen con App Inventor son muy sencillas, aunque se adaptan a las necesidades básicas del aula. De esta forma, un estudiante que nunca haya creado una aplicación lo puede hacer en alrededor de una hora.

 

Thunkable

Thunkable
Thunkable

Una de las opciones más sencillas para crear aplicaciones nativas para Android, sin aprender programación, es sin duda MIT App Inventor. Ahora llega Thunkable, basada en la primera, que de igual forma es una excelente solución para los que dan sus primeros pasos en el desarrollo de aplicaciones para Android.

Crear apps con Thunkable es realmente sencillo, sólo tenemos que configurar su apariencia, incorporar los distintos elementos de la interfaz y programar las acciones y eventos en un editor de bloques, sólo hay que arrastrar y soltar.

Los usuarios de MIT App Inventor pueden exportar sus proyectos a Thunkable, no van a encontrar ninguna dificultad en su manejo pues es exactamente igual. De hecho las diferencias estéticas entre una y otra plataforma son muy poco significativas.

Lo cierto es que aunque en estos momentos es prácticamente indiferente utilizar una u otra plataforma, pues ofrecen casi las mismas funcionalidades, es probable que este nuevo proyecto vaya incorporando nuevos elementos y funciones a un ritmo diferente que la plataforma “oficial” de MIT App Inventor.

 

Makeroid

Makeroid
Makeroid

 

Makeroid es otra alternativa más para crear aplicaciones Android de forma sencilla y sin necesidad de tener conocimientos avanzados en programación.

Esta basado en MIT App Inventor, al igual que en éste los eventos se programan arrastrando bloques, de forma similar al sencillo lenguaje de programación Scratch.

Cualquier usuario acostumbrado a crear apps Android con MIT App Inventor no tendrá ninguna dificultad para comenzar de inmediato a crear sus apps con Makeroid.

Si eres nuevo en este tema, puedes buscar tutoriales de MIT App Inventor y aprender rápidamente. El funcionamiento de App Inventor y Makeroid es idéntico.

La ventaja de Makeroid sobre MIT App Inventor es que dispone de muchos más elementos para incluir en nuestras aplicaciones, así como bloques de código más completos y avanzados. Por ejemplo, en Makeroid podemos integrar fácilmente anuncios de Admob.
Características de Makeroid

  • Aplicación web gratuita para crear apps Android sin conocimientos avanzados de programación.
  • Se trabaja en el navegador, no es necesario descargar ni instalar ningún programa en nuestro equipo.
  • Entorno de desarrollo visual, solo hay que “arrastrar y soltar“.
  • Basado en MIT App Inventor, su funcionamiento y uso es igual.
  • Las apps creadas con Makeroid están listas para ser publicadas en Google Play y otros mercados de aplicaciones para Android.
  • Todo tipo de elementos para crear apps: botones, sliders, layouts, listas, mapas de Google, campos de texto, etc.
  • Posibilidad de monetizar las apps con Admob.
  • Admite extensiones que amplían sus posibilidades.
  • Es posible enviar notificaciones push a los usuarios de tus apps.
  • Crea apps de aspecto profesional en Material Design.
  • Aprende fácilmente a crear apps, en la red existen miles de tutoriales de App Inventor que sirven igualmente para Makeroid.
  • Usa una cuenta de Google para conectarte a esta plataforma de creación de apps.
  • App de AI Companion para probar las apps en tu teléfono mientras las desarrollas.

 

AppyBuilder

AppyBuilder
AppyBuilder

A partir de un proyecto que ya lleva bastante tiempo en la red, antes sólo estaba disponible en modalidad de pago, acaba de nacer recientemente una poderosa plataforma para crear apps Android sin necesidad de programar. Se trata de Appy Builder, un proyecto inspirado en MIT App Inventor al que supera con creces.

Ahora ya está disponible en versión gratuita, una solución bastante completa, y no planteará ninguna duda para los que han utilizado alguna vez MIT App Inventor. Si nunca has utilizado esta herramienta anteriormente tampoco debes preocuparte, se programa en un entorno visual por medio de bloques y la curva de aprendiza es muy sencilla.

Características de Appy Builder

  • Crea gratis todo tipo de aplicaciones y juegos para Android.
  • Completa guía de ayuda (en inglés) y foros de la comunidad.
  • No es necesario escribir código, se programa arrastrando bloques.
  • Crea apps para smartphones y tablets, compatibles para su publicación en Google Play.
  • Las apps creadas no muestran ningún tipo de publicidad.
  • Sin descargas ni instalaciones, crea tus apps desde tu navegador.
  • Numerosos elementos para crear la interfaz: botones, labels, campos de texto, listviews, imágenes, vídeos, etc.
  • Personaliza los menús de tu aplicación.
  • Crea aplicaciones que trabajan con el sensor de temperatura que incorporan algunos de los nuevos dispositivos.
  • Muchas posibilidades para los eventos, por ejemplo puedes crear apps que encienden el flash de la cámara.
  • Especifica el nombre del paquete de la aplicación.
  • Integra mapas de Google en tus apps.

Versión gratuita o de pago
Realmente la versión gratuita es mucho más completa que la que conocemos los que hemos trabajado con MIT App Inventor, sus posibilidades son mucho más amplias. Puedes crear aplicaciones y juegos sin coste alguno, luego podrás incluso venderlas en Google Play u ofrecerlas gratis.

La modalidad Silver tiene un coste mensual de $8.00 y obviamente ofrece muchas más características. La principal ventaja, frente a la versión gratuita, es la posibilidad de integrar fácilmente publicidad a nuestras aplicaciones, por ejemplo de Admob. También nos permitirá crear aplicaciones con compras in-app o que hacen uso de todo tipo de sensores.

 

MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTO

METODO DE RIGIDEZ EN PORTICOS

PLANTEAMIENTO GENERAL

Con el método pendiente deflexión y su alternativa de solución de la distribución de momentos nos hemos dado cuenta de las bondades del método de la rigidez con respecto al método de las fuerzas.

Detectamos también que por hacer mas fácil la solución del análisis hemos simplificado a tal extremo las ecuaciones que dejamos a un lado efectos tan importantes como la deformación por carga axial y por cortante. Estos efectos se hacen mas notorios en estructuras que incluyan elementos con cargas axiales considerables o inclusive aquellas construidas con elementos que solo trabajen a carga axial, como es el caso de cerchas, y en estructuras con elementos con grandes secciones transversales en un sentido, como es el caso de muros, donde el efecto principal en ellos no es la flexión sino las fuerzas cortantes.

Otra de las dificultades en que nos encontramos al trabajar con las ecuaciones de pendiente deflexión es el plantear ecuaciones de compatibilidad para elementos inclinados. Este hecho no lo habíamos mencionado cuando vimos ese método por lo tanto merece la pena detenerse un poco y descubrir cual es el problema que se presenta cuando tenemos este tipo de elementos.

Primero recordemos que las ecuaciones pendiente deflexión están en función de las rotaciones de extremo de elemento, del desplazamiento relativo entre estos extremos, siempre medido en el sentido perpendicular al elemento y de los momentos de empotramiento perfecto. Planteadas estas ecuaciones para estructuras con elementos horizontales y verticales, no se presenta ningún problema ya que los desplazamientos de elementos horizontales se entienden como asentamientos de los apoyos y no afectan a los elementos verticales (ya que no hay cambios en la longitud de los elementos) , o al contrario para desplazamientos horizontales estos solo se tienen en cuenta en los elementos verticales.

Cuando adicionamos los efectos por carga axial estamos involucrando en la estructura los grados de libertad correspondientes a los acortamientos y alargamientos de los elementos, lo que conduce a que tengamos que plantear los D relativos entre extremos de elementos en función de los desplazamientos horizontales y verticales de los nudos en que concurren los extremos de los elementos.

Cómo adicionar de una forma sencilla los efectos de carga axial, cortante y el hecho de tener desplazamientos en cualquier sentido de la estructura en el análisis por el método de la rigidez ?

Ya otros nos han quitado la posibilidad de responder esa pregunta planteando lo que conocemos el método de la rigidez directa.

El método parte de los mismos criterios del de pendiente-deflexión: planteamiento de ecuaciones de equilibrio en el sentido de los grados de libertad libres, planteamiento de ecuaciones de compatibilidad y planteamiento de ecuaciones que relacionen las fuerzas con los desplazamientos. A continuación presentamos en forma de ecuaciones de matrices la metodología de los métodos de rigidez en general:

1. Ecuaciones de equilibrio:

El planteamiento de estas ecuaciones de equilibrio en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres se puede expresar matricialmente como:

donde:

: son las fuerzas y momentos de extremo de los elementos, en este caso desconocidas.

: representa las fuerzas y momentos aplicados externamente en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres

: es la matriz estática de la estructura, o sea aquella que resulta de plantear las ecuaciones de equilibrio

2. Ecuaciones de compatibilidad: Son aquellas que expresan los desplazamientos de los grados de libertad de cada elemento en función de los desplazamientos de los grados de libertad libres de toda la estructura.

        DESPLAZAMIENTOS ROTACIONES

donde:

deformaciones internas de los elementos, por ejemplo desplazamientos o deformaciones axiales y desplazamientos perpendiculares al elemento, estos se dan medidos con respecto a unos ejes locales del elemento que van uno paralelo al eje axial del elemento llamado ”x” y otros dos ejes perpendiculares a este llamados “y” y “z” designados siguiendo la regla de la mano derecha.

rotaciones de extremos de los elementos con respecto a su eje axial y medido en contra a las manecillas del reloj

desplazamientos tanto vertical como horizontal de toda la estructura en sus grados de libertad libres, medidos con respecto a unos ejes generales X, Y y Z.

rotaciones de toda la estructura en sus grados de libertad libres, medidos con respecto a unos ejes generales X, Y y Z, llamados ejes globales de toda la estructura.

3. Ecuaciones de relaciones fuerza -desplazamiento: Estas relacionan las fuerzas y momentos de extremo de cada miembro con sus desplazamientos y rotaciones. Ojo es de cada miembro y no de la estructura general.

  y     se puede en general simplificar diciendo que las  corresponden tanto a fuerzas como a momentos y que las   corresponde tanto a desplazamientos como a rotaciones.

es la matriz de rigidez de los elementos

El método tiene por objetivo encontrar los desplazamientos Δ y rotaciones θ de toda la estructura.

Pasos a seguir:

Expresamos las ecuaciones de fuerzas internas en función de los desplazamientos externos de toda la estructura:

llevamos estas ecuaciones a las de equilibrio:

si expresamos el término como la rigidez general de toda la estructura , tenemos:

esta ecuación tiene solución para los Δ al invertir la matriz de rigidez y multiplicarla por el vector de fuerzas P.

Una vez conocidos los desplazamientos de los grados de libertad libres procedemos a encontrar los desplazamientos de extremo de elemento:

con estos encontramos las fuerzas de extremo de los elementos:

Note que en las ecuaciones de equilibrio no se incluyen las reacciones, por lo tanto este método no encuentra de una forma directa las reacciones, estas se determinan al considerar las fuerzas de extremo de los elementos en función de los desplazamientos.

Hemos planteado el procedimiento general el cual requiere del planteamiento de la matriz de rigidez de los elementos en función de los desplazamientos y giros de sus extremos. Esta matriz ya la habíamos planteado al expresar las ecuaciones de pendiente deflexión. Recordemos que partimos de miembros con extremos fijos y vamos soltando de a un grado de libertad y determinamos como varían las fuerzas al producirse ese movimiento:

PLANTEAMIENTO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS:

Partimos de un elemento tipo viga con todos sus grados de libertad restringidos

Seis fuerzas de extremo de elemento que debemos expresar en función de los desplazamientos por medio de la rigidez. (rigidez: fuerza necesaria para producir en desplazamiento unitario)

Encontraremos la matriz de rigidez que asocia cada desplazamiento con la fuerza que produce en el extremo:

1.Para la primera casilla de la matriz de rigidez se refiere al grado de libertad a1, desplazamiento en x del extremo a del elemento:

las demás fuerzas de extremo son cero. En el caso de soltar el grado de libertad correspondiente a eb1 también obtendríamos el mismo resultado.

Podríamos representar el primer vector de la matriz de rigidez como:

similarmente para el vector 4.

2. Liberemos el grado de libertad correspondiente a una reacción vertical en el extremo B, o sea en esta nomenclatura el eb2 y aplicamos la fuerza fb2

Resolviendo por el método de las fuerzas tenemos:

resolviendo para las fuerzas cortantes de extremo tenemos:

Para este tipo de desplazamiento nuestro vector queda:

similar cuando soltamos el grado de libertad ea2 pero con diferentes signos.

3. Soltamos el grado de libertad de rotación en el extremo A o sea ea3.

de donde

expresemos el Ma en función de la rotación del extremo A

Expresando esto con la nomenclatura planteada tenemos:

   y  

Cortantes asociados a estas rotaciones:

    y    

Armando toda la matriz de rigidez del elemento tenemos:

Se puede simplificar esta matriz si la dividimos en submatrices

donde kaa representa la rigidez que asocia fuerzas del extremo a con deformaciones del extremo a, kab asocia fuerzas generadas en a por desplazamientos del extremo b.

PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

EQUILIBRIO: Cualquier desplazamiento o giro en un extremo del elemento produce fuerzas que se encuentran en equilibrio. Ejemplo de un asentamiento en un extremo

MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO: Si el elemento se mueve sin sufrir deformaciones internas las fuerzas de extremo que genera serán nulas.

Al aplicar un desplazamiento general sin deformación tenemos:

Si hallamos las fuerzas asociadas a estos desplazamientos por medio de la matriz de rigidez encontramos que son nulas:

SINGULARIDAD: La matriz de rigidez no tiene inversa ya que sus ecuaciones no son independientes sino redundantes. Para que tenga solución se necesita restringir algunos grados de libertad para hacer el elemento estático.

SIMETRÍA: Se cumple la ley de los desplazamientos recíprocos.

 

CORRECCIÓN PARA ELEMENTOS CON EXTREMOS ARTICULADOS

Para elementos que tengan uno o los dos extremos articulados podemos hacer una corrección a la matriz de rigidez tal como se usó por el método de la distribución de momentos. Es como decirle a ese extremo que no tome momento por empotramiento. Esta corrección se hace multiplicando la matriz k por una matriz de corrección (c ) que elimine la restricción en ese extremo.

Este elemento en su extremo a no puede tener momento de reacción, o sea Fa3=0

se puede despejar  en función de los otros desplazamientos:

se pueden entonces expresar un vector de desplazamientos corregido expresando la rotación del extremo a en función de los otros desplazamientos del elemento.

entonces expresado en la matriz de rigidez del elemento tenemos:

donde:

  es la matriz de rigidez modificada por articulación en el extremo a.

Se procede de igual manera para articulación en el extremo b y para elemento con ambos extremos articulados.

La matriz correspondiente a articulación en b sería:

Para elementos tipo cercha la matriz de corrección está dada por:

esta matriz se obtuvo de resolver simultáneamente las ecuaciones de momentos fa3 y fb3 igualándolos a cero y expresando los desplazamientos Δa3 y Δb3 en función de los otros grados de libertad.

Matriz de rigidez corregida para elemento tipo cercha, se eliminan la 3ra la y 6ta filas y la 3ra y 6ta columna:

Con estas matrices quedan expresadas las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones y de relaciones fuerzas desplazamiento, queda por definir el equilibrio en los nudos.

 

MATRIZ DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES:

Esta matriz sirve para relacionar los desplazamientos de extremo con los movimientos generales de toda la estructura en sus ejes globales, también se conoce como matriz de transformación de coordenadas.

Su planteamiento asume entonces una conversión de ejes locales de los elementos a ejes globales de estos:

lo mismo para las fuerzas del extremo b

La matriz de transformación de coordenadas corresponde a la matriz de compatibilidad de fuerzas y se expresará con la letra λ. Note que esta matriz es para fuerzas y no para desplazamientos.

sabemos que:

en esta ecuación multiplicamos a ambos lados por la matriz λ

donde:

reemplazando tenemos:

estas son las fuerzas de extremo de elemento en coordenadas globales expresadas en función de los desplazamientos en coordenadas locales.

Debemos expresar estas fuerzas en función de los desplazamientos globales para lo cual necesitamos expresar los desplazamientos e en función de los desplazamientos Δ.

Volviendo al mismo planteamiento de ejes, tenemos:

que es similar a:

si aplicamos lo mismo a los desplazamientos del otro extremo, podemos expresar todos los desplazamientos de los extremos de elementos en función de las coordenadas globales de la estructura.

reemplazando esta ecuación en la de fuerzas tenemos:

de esta manera llegamos a obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales , realicemos esta operación con la matriz de los elementos ya planteada:

definitivamente estas matrices es mejor manejarlas por submatrices de 3×3

El resultado de esta multiplicación entre matrices es una matriz de 6×6 :

esta matriz sigue cumpliendo las propiedades de la matriz de rigidez de los elementos en coordenadas locales.

Cuando el ángulo q es igual a cero entonces debe dar igual a la matriz en coordenadas locales.

Esta matriz se expresa de una manera mas sencilla si:

EQUILIBRIO EN LOS NUDOS

El planteamiento de las ecuaciones de equilibrio para los grados de libertad libres de cada nudo de la estructura nos lleva a expresar unas ecuaciones en función de las fuerzas de extremo del elemento.

 

Equilibrio en el nudo S:

 

reemplazando estos valores en la ecuación de equilibrio e igualando a cero los desplazamientos de los grados de libertad restringidos, tenemos:

equilibrio en el nudo T:

Asi quedan dos ecuaciones con dos incógnitas que corresponden a los desplazamientos de los nudos s y t.

entonces podríamos decir que esta matriz que suma parte de las matrices de rigidez de los elementos constituye la matriz de rigidez de toda la estructura. Note que en esta matriz en las casillas de la diagonal se suman las rigideces de los elementos que convergen a un nudo y en las otras casillas se colocan las rigideces de los elementos que unen dos nudos.

En el caso de que tengamos fuerzas de empotramiento perfecto en los elementos entonces:

al remplazar los valores de las fuerzas de extremo de los elementos en las ecuaciones de equilibrio se incluyen los términos de las fuerzas de empotramiento perfecto quedando las ecuaciones de equilibrio como:

se puede encontrar un sistema general de cargas en los nudos donde se incluyen tanto las cargas externas aplicadas directamente en ellos como las cargas de empotramiento perfecto.

se resuelve para Δ y se retrocede en el sistema de ecuaciones hasta encontrar las fuerzas de extremo de elementos en coordenadas locales. Note que en la ecuación de fuerzas F=k.Δ+FEP están incluidas las fuerzas de empotramiento perfecto en coordenadas globales.

ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Debido a que las incógnitas a despejar son los desplazamientos de los grados de libertad libres entonces las rigideces relativas a ellos son los que alimentan la matriz de rigidez general de la estructura. Para que nos quede la matriz en orden debemos numerar los grados de libertad libres primero conservando el orden de los ejes globales. Los grados de libertad restringidos también se numeran para integrarlos en el problema ya sea que se quiera resolver una estructura con un movimiento conocido en un grado de libertad restringido o para hallar reacciones.

Se numeran los elementos y los nudos, se determinan los sentidos de los ejes locales de los elementos definiendo el extremo a y el b de cada uno, siempre el eje local 1 va de a a b y el ángulo entre el eje local y global se mide de local a global por la regla de la mano derecha.

El ensamble de la matriz es tal que las casillas de la diagonal se llenan con las rigideces de los elementos que convergen en un nudo y las otras con las de aquellos elementos que sirven de unión entre dos nudos de la estructura.

Cada elemento de la estructura tiene su matriz de rigidez en coordenadas globales, en este caso el elemento 1 queda:

 

7            8            9           1             2             3

1             2             3           10           11       12

1           2            3             4            5           6

en estas matrices se numeran las filas y columnas con los números de los grados de libertad tal cual están en la estructura, el ensamble de la matriz de rigidez total se hace numerando las filas y columnas con los grados de libertad libres y restringidos de toda la estructura y las casillas de las matrices de los elementos se van sumando en la posición correspondiente en la matriz de rigidez. Para la casilla 1,1 de la matriz de rigidez total se insertan las casillas numeradas con 1,1 en las matrices de los elementos 1, 3 y 2 ya que ellos están asociados con el grado de libertad 1.

1                                  2

Así todos las fuerzas relacionadas con un desplazamiento en un nudo dado o en el nudo del otro extremo del elemento se van sumando a la matriz de rigidez total. Expresando esta matriz como submatrices tenemos:

1 2 3 4 5 6

En el caso de que queramos resolver para las reacciones el montaje de la matriz de rigidez debe incluir los grados de libertad restringidos:

donde cada termino de esta matriz representa una submatriz de 3 filas. Note que los desplazamientos de los grados de libertad restringidos son iguales a cero.

La matriz de rigidez total, incluyendo los grados de libertad restringidos quedaría:

expresando esta ecuación en términos de submatrices tenemos:

donde:

F23= fuerzas externas aplicadas en los nudos 2-3, estas fuerzas son conocidas

F345= fuerzas aplicadas en los nudos 3, 4, 5 . Corresponden a reacciones y son fuerzas desconocidas

GLL= fuerzas o desplazamientos de los grados de libertad libres

GRL= fuerzas o desplazamientos de los grados de libertad restringidos

KLL= submatriz de rigidez de 6×6 que relaciona las fuerzas en los nudos con grados de libertad libres con los desplazamientos de los grados de libertad libres.

KRL= submatriz de rigidez de 6×9 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad libres (nudos 2 y 3) con los desplazamientos de los grados de libertad restringidos (nudos 3,4,5)

KLR= submatriz de rigidez de 9×6 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad restringidos con los desplazamientos de los grados de libertad libres

KRR= submatriz de rigidez de 9×9 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad restringidos con los desplazamientos de los grados de libertad restringidos.

ΔGLL= desplazamientos en los grados de libertad libres, son desconocidos.

ΔGLR= desplazamientos en las restricciones, estas son iguales a cero.

Realizando las ecuaciones:

entonces en la primera ecuación se encuentran los ΔGLL, invirtiendo la matriz de rigidez correspondiente a los grados de libertad libres, una vez conocidos estos desplazamientos podemos encontrar las fuerzas en los nudos 3, 4 ,5 (reacciones) por medio de la segunda ecuación.

 

CONDENSACIÓN DE UNA MATRIZ DE RIGIDEZ

La condensación es el un método que nos permite reducir la cantidad de incógnitas a determinar en un análisis estructural o el tamaño de la matriz de rigidez a invertir.

La condensación se da por igualación de grados de libertad o eliminación de ellos como incógnitas al despreciar deformaciones axiales o también por tener ecuaciones en la matriz de rigidez que estan asociadas a fuerzas externas mas fuerzas de empotramiento iguales a cero.

Explicaremos primero la condensación por medio del ejemplo del pórtico desarrollado en clase despreciando deformaciones axiales.

Al montar la matriz de rigidez de toda la estructura de este ejemplo tenemos:

1 2 3 4 5 6

Esta matriz se puede expresar como:

donde cada submatriz es una matriz de 3×3

Si despreciamos las deformaciones axiales vemos que podemos expresar unos grados de libertad en función de otros que los vamos a considerar independientes, esto nos lleva a plantear unas ecuaciones de ligadura entre los grados de libertad:

ecuación que expresa que la viga no se estira ni se encoje.

ecuación que nos dice que la columna 1 no tiene deformaciones axiales y adicionalmente nos dice que el desplazamiento en el sentido del grado de libertad 2 es igual a cero.

ecuación de la columna 3.

Al considerar las ecuaciones resultantes de la multiplicación de las matrices K y Δ

, observamos que todos los coeficientes que multiplican a los desplazamientos de los grados de libertad 2 y 5 (Δ2=0 y Δ5=0) se pueden tachar de la matriz ya que ellos al multiplicar por cero no aportan nada a las ecuaciones de equilibrio de la estructura. En este caso la matriz de rigidez quedaría reducida a una matriz de 6 filas y 4 columnas. Para reducirla a una matriz de 4×4 consideramos que las fuerzas en los grados de libertad 2 y 5 no dependen de sus propios desplazamientos sino de los desplazamientos en los otros grados de libertad, por lo tanto no son independientes sino dependientes. Se reorganiza la matriz de rigidez de tal manera que las ecuaciones independientes queden en la parte superior y las dependientes abajo. Así ya obtenemos una matriz de rigidez de 4×4, donde hemos condensado las deformaciones axiales de las columnas.

El tratamiento con el grado de libertad 4 es diferente ya que este no es cero. Si miramos la matriz de rigidez dentro del contexto F=k*Δ, cada fila de ella contiene unos factores que multiplican a cada una de las deformaciones de los grado de libertad libres y se iguala cada una de las fuerzas en ese sentido. En el caso del grado de libertad 4 vemos que Δ1=Δ4, entonces en las ecuaciones de rigidez podrimos decir que los términos que multiplican a Δ4 se suman a los terminos que multiplican a Δ1; esto es la columna 4 de la matriz de rigidez se puede sumar a la columna 1 y no se ha alterado el resultado.

La matriz resultante queda en este momento de 4 filas por 3 columnas, que pasa con esa fila que sobra?. Bueno esa fila corresponde a F4 la cual por equilibrio de la viga sabemos que es igual y de sentido contrario a F1 (sin deformaciones axiales), entonces se pueden sumar las filas 1 y 4 y se igualan a la fuerza del grado de libertad 1.

La matriz queda:

1 3 6

Esta matriz es de3x3, mucho menor a la que se había considerado al principio. Todavía podemos pensar en otra condensación para esta matriz considerando que la única fuerza externa para la que la vamos a resolver es la fuerza aplicada en la dirección del grado de libertad 1. La ecuación de equilibrio con esta matriz se puede expresar de la forma:

donde la matriz de rigidez se ha fraccionado en submatrices ko de 1×1, k2 de 1×2, k3 de 2×1 y k4 de 2×2.

Expandiendo las ecuaciones de la matriz tenemos:

de la segunda ecuación podemos despejar en función de y reemplazar en la primera ecuación.

note que la solución para Δ1 correspondería a dividir la fuerza por la cantidad numérica que resulta de multiplicar las submatrices dentro de los corchetes ( tenga en cuenta que este resultado da un número y no una matriz). En conclusión la única matriz que se tuvo que invertir es la matriz k3 que es de 2×2, el problema se redujo considerablemente. Por otro lado si lo que queremos obtener es la rigidez lateral del pórtico está estará dada por .

La primera condensación realizada corresponde a ecuaciones de ligadura y esta ultima condensación corresponde a las ecuaciones de equilibrio.

Esta metodología se puede expresar en forma general por medio de matrices.

FORMA GENERAL DE CONDENSAR UNA MATRIZ

Se plantearán ecuaciones generales pero se expresan para el ejemplo del pórtico.

El primer paso después de tener la matriz de rigidez de toda la estructura es plantear las ecuaciones de ligadura entre los grados de libertad dependientes y los independientes:

Ligadura:

Esta ecuación queda:

Esta ecuación queda:

ecuación de la columna 3 y queda

Ecuaciones de ligadura:

Donde A es la matriz que contiene estas ecuaciones

reorganizando los Δ de tal manera que arriba queden los independientes y abajo los dependientes y particionando esta matriz, tenemos:

donde Ao es una matriz que multiplica a los desplazamientos independientes y A1 a los desplazamientos dependientes, desarrollando las ecuaciones de esta multiplicación matricial:

de esta manera encontré los desplazamientos dependientes en función de los independientes

de tal manera que puedo convertir los Δ de 6×1 en función de los Δ independientes así:

expresado en todos los grados de libertad tendríamos:

matriz R

Para poder incluir la matriz R en la ecuación de rigidez debe estar organizada igual que la matriz de rigidez general de la estructura o sea en el orden de los grados de libertad, una vez intercambiadas filas y columnas de podemos expresar la ecuación como:

ecuación 1

sabemos que

ecuación 2

y por ley de Betty y transformación de la matriz de rigidez tenemos:

ecuación 3

reemplazando las ecuaciones 1 y 3 en la ecuación 2:

De esta manera condensamos la matriz de rigidez y queda por resolver un sistema de 3×3. Falta la condensación por las ecuaciones estáticas o sea aquella que se hace porque las fuerzas externas en algunos de los grados de libertad independientes son cero. En el caso del pórtico sería dejar todo en términos de Δ1.

de aquí en adelante se siguen los mismos pasos explicados en el ejemplo para resolver la ecuación en función de los grados de libertad libres, independientes y que tengan fuerza externa aplicada en ellos. Esta fuerza externa también puede ser por fuerzas de empotramiento perfecto ya que el sistema que se resuelve es para el vector de fuerzas aplicadas directamente en los nudos menos el vector de FEP.

ANÁLISIS DE ELEMENTOS TIPO VIGA

ANÁLISIS DE ELEMENTOS TIPO VIGA

Objetivo: Determinar la respuesta (fuerzas internas y deformaciones) en elementos tipo viga.

Los modelos estudiados hasta ahora involucraban la estabilidad y equilibrio externo de la estructura. Para completar el análisis se hace necesario el conocimiento de las fuerzas internas en cada uno de los elementos que componen el sistema estructural. En este caso nos referiremos a los elementos tipo viga.

Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incógnitas: una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas de extremo y aplicando el método de las secciones en cualquier punto de la viga nos daría como resultado un tramo de viga estáticamente determinado con tres ecuaciones estáticas disponibles y tres incógnitas por determinar. Observemos que la clave es conocer las fuerzas de extremo de elemento, es decir, aquellas que se ejercen en las uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructural y de ahí proceder a determinar las fuerzas internas por la estática. Podemos concluir que el elemento a analizar es estáticamente determinado así pertenezca a un sistema indeterminado.

Esto explica porque la metodología y el objetivo de los métodos de análisis es determinar las fuerzas de unión y de ahí seguir con el análisis independiente de cada elemento.

Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, considerarlo con sus fuerzas extremas como fuerzas de reacción y analizarlo hasta encontrar las fuerzas internas:

Notemos que al partir el elemento una sección ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a un apoyo de empotramiento, podemos decir, que las conexiones que se generan a lo largo del elemento son uniones rígidas y las fuerzas en cada sección son iguales y de sentido contrario.

Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizará la siguiente convención:

Cortante: Las fuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotación horaria del elemento

Momento: Los momentos positivos son aquellos que producen concavidad hacía arriba en el elemento horizontal o tracciones en la fibra inferior. Para elementos verticales esta convención se puede complicar un poco por lo tanto regirá el criterio de dibujar el diagrama de momentos para la cara traccionada.

Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica tracción en el elemento.

Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas de fuerza axial (P), diagramas de fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector (M). Los diagramas representan la variación de estas fuerzas a lo largo del elemento, dibujando en las abcisas la longitud del elemento y en las ordenadas el valor de la fuerza interna. Para axial y cortante los valores positivos se dibujan por encima del elemento pero para los momentos se dibujará el diagrama para el lado traccionado del elemento, así, si el elemento es horizontal el lado positivo del diagrama estará para abajo. La convención para momentos rige para cualquier ubicación de este en el espacio y es independiente del origen escogido, ya sea este en el extremo derecho o izquierdo del elemento.

Relación entre momento cortante y carga

En el caso de cargas distribuidas actuando perpendicular al elemento se puede encontrar una relación con las fuerzas internas de cortante y momento por medio del siguiente análisis de una sección infinitesimal del elemento.

Aplicando equilibrio a la sección de viga indicada tenemos:

integrando a ambos lados, tenemos:

la variación del cortante en un tramo de viga dado es igual al área bajo la curva de carga. (note que el equilibrio se hizo con la carga negativa, por lo tanto no se debe involucrar otra vez su signo en la ecuación).

dividiendo por dL a ambos lados tenemos:

, donde podemos decir que la pendiente a la curva del diagrama de cortante es igual al negativo de la carga distribuida.

Ahora con la ecuación de momentos tenemos:

considerando una longitud muy pequeña del trozo de viga analizado, el término con dL2 se aproxima a cero, y la ecuación nos queda

integrando:

de donde la segunda integral representa el área bajo la curva del diagrama de cortantes en un tramo de viga dado y podemos concluir que la variación del diagrama de momentos en un tramo de vigas es igual al área bajo la curva del diagrama de cortante.

Dividiendo a ambos lados por dL, tenemos:

donde la pendiente del diagrama de momentos en cualquier punto es igual al valor del cortante en ese punto.

Ejercicios

Dibujar los diagramas de cortante, momento y curva elástica tentativa:

Para los diagramas de momento se verificará la convención haciendo el ejercicio ubicando el origen en ambos extremos del elemento. Determinar en cada caso el eje coordenado de las ordenadas de la gráfica de momentos.

De que depende la orientación del eje de momentos?. Es esta única para un elemento dado?.

Podría determinar una manera fácil de orientar los ejes en elementos verticales y horizontales de acuerdo con la convención fijada. Cómo sería esa orientación en un marco?.

En las estructuras tipo marco se sugiere trabajar encontrando primero las fuerzas de extremo de los elementos y después aplicar equilibrio a cada uno. Con estos ejercicios se pretende que el estudiante tomo conciencia de los momentos de continuidad en los nudos.

Viga simplemente apoyada:

Tomaremos el ejemplo de un elemento simple, con fuerzas de extremo equivalentes a uniones de articulación.

Se pide encontrar los diagramas de momento y corte.

Se debe partir por encontrar las fuerzas de extremo del elemento y se recalca que el elemento, así pertenezca a un sistema estructural compuesto, debe estar en equilibrio estático, cumplir con las ecuaciones de equilibrio, considerando tanto las fuerzas de extremo o unión al sistema como las fuerzas externas actuando sobre él.

Ø Fuerzas de reacción:

Ø Fuerzas internas: Aplicación del método de las secciones.

Note que el término es la sección en el extremo izquierdo del elemento, por lo tanto este se puede expresar como

Construcción del diagrama de corte:

  •  Sabemos que el elemento está en equilibrio por lo tanto el diagrama empieza en cero y termina en cero.
  • Cuando hay fuerzas puntuales estas implican un brinco igual a su valor en el diagrama de corte (variación brusca de este), el brinco se da en la misma dirección de la carga puntual aplicada.
  • Recordemos que el valor –w es la pendiente del diagrama de cortante.

Empezando por el lado izquierdo tenemos:

Notemos que la sección del extremo se convierte en el cortante, así podríamos decir que Va = Ay y Vb = By.

Punto donde el corte es cero:

Si entonces igualando V = 0 y despejando x, tenemos:

el punto de cortante cero se encuentra dividiendo el cortante de extremo por la carga w.

Otra relación interesante es que nosotros podemos obtener el cortante en cualquier punto restando al cortante de extremo lo que llevamos de carga encima del tramo estudiado (w.x).

Construcción del diagrama de momentos:
Ø El diagrama empieza en cero y termina en cero.

Ø Cuando hay momentos de extremo o puntuales se interrumpe la continuidad del diagrama presentándose un brinco en éste. Si el momento puntual es positivo, el brinco será negativo y viceversa.

Ø Recordemos que el valor del cortante es igual a la pendiente del diagrama de momentos.

Retomando el ejemplo inicial y empezando por el lado izquierdo de la viga tenemos:

Según la convención fijada los momentos positivos producen tracciones en la parte inferior, por eso se coloca el eje positivo para abajo.

Notemos que con las pendientes se puede trazar fácilmente el diagrama de momentos, inclusive nos muestra la curvatura.

Sabemos que un momento positivo produce concavidad hacia arriba, por lo tanto la curvatura será hacia arriba.

 

Determinemos el valor del momento máximo considerando que este se presenta cuando el cortante es cero (siempre una pendiente igual a cero muestra los puntos máximos y mínimos de una curva).

*  cuando , reemplazando en la ecuación de momentos tenemos:

 para 

Otros tipos de vigas:

CORTE                                        MOMENTO

            

PUNTOS CRÍTICOS EN UN DIAGRAMA DE MOMENTOS:

Asumiendo que los elementos estudiados pertenecen a un sistema estructural complejo, analizaremos una viga con momentos en ambos extremos que representan la unión con otros elementos o su continuidad después de un apoyo.

 

MARCOS CONFORMADOS CON ELEMENTOS TIPO VIGA

 

En cada uno de los siguientes marcos determine reacciones externas, fuerzas de extremo de elementos y diagramas de momento, cortante y axial.

Analice en cada uno de los elementos si es posible encontrar elementos donde exista M y no exista V. Es posible que un elemento tenga momentos si está sometido a carga axial solamente. Concluya.

EJES LOCALES:

Después de trazar los diagramas de fuerzas internas de varias estructuras con elementos orientados de diferentes maneras podemos concluir que el trabajo se hace mas fácil si trazamos unos ejes coordenados para cada elemento.

Si los elementos a analizar no coinciden con los ejes de coordenadas de todo el sistema, el encontrar sus fuerzas internas se puede complicar, por lo tanto se propone que cada elemento trabaje con unos ejes coordenados propios, donde el eje 1 coincide con el eje axial del elemento, el eje 2 es perpendicular al elemento y el eje 3 se fija por la regla de la mano derecha como el resultado del producto cruz (1 X 2). Estos ejes se denominan ejes locales. Notemos que los ejes locales coinciden con las fuerzas internas de axial, corte y momento respectivamente.

Cuando se analiza todo un sistema estructural nos encontramos con unos ejes coordenados generales que rigen todo el sistema de cargas y reacciones, a este sistema de ejes se le conoce como ejes globales de toda la estructura. Como resultado de un análisis general encontraremos las fuerzas en los nudos, que constituyen las fuerzas de extremo de cada elemento. Para encontrar los diagramas de fuerzas internas en cada elemento debemos transformar las fuerzas de extremo en coordenadas globales a fuerzas de extremo en coordenadas locales.

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS:

Para pasar cualquier sistema de fuerzas de ejes globales a locales tenemos:

Estas ecuaciones cumplen para todos los casos siempre y cuando θ se mida desde el eje positivo de las X y en sentido antihorario.

Transformación de coordenadas para carga distribuida:

Cuando se trabaja con elementos inclinados se debe tener cuidado con el tipo de carga distribuida, ya sea esta dada en la proyección horizontal del elemento o en toda la longitud de este. Notemos que las resultantes de ambas son diferentes.

En ambas condiciones, para encontrar fuerzas internas, se debe transformar la carga a ejes locales del elemento por medio de una descomposición simple de cargas.

Método de la Viga Conjugada

MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

INTRODUCCIÓN

La viga conjugada es una viga simulada que posee igual longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la compresión. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.

El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.

Cálculos de deformación por el Método de la Viga Conjugada.
Este método fue desarrollado por Otto Mohr. Él idealizó una serie de condiciones de apoyo para una viga, el cual la llamó Viga Conjugada, consistiendo en cargar la viga con el diagrama de momentos de la viga real, para encontrar los ángulos de rotación en cada punto del diagrama de cortante de la viga conjugada. Así, como también las deflexiones encontrando los momentos en un punto cualquiera de la viga conjugada.

I.- GENERALIDADES:

1.1 Objetivos

El alumno podrá familiarizarse con la teoría para resolver problemas utilizando este método.

1.2 Glosario:

• Diagrama de momento reducido: Es la representación gráfica de los momentos reducidos.

• Momento reducido: es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la flexión.

Mr=M/EI

• Principio de superposición:

El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como “superposición” o “suma” de estos subproblemas más sencillos.

Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B.

• Viga conjugada:

Es una viga ficticia cuya longitud es la misma que el de la viga propuesta o viga real y cuya carga es el diagrama de momentos reducido aplicados de la viga real.

II.- MARCO TEÓRICO

2.1 Método de la viga conjugada

El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada.

Luego, aplicando la estática se hallan las cortantes y momentos en la viga ficticia. Donde el cortarte será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.

Postulados:

1. El giro en cualquier sección de la viga real, es igual al cortante en la sección correspondiente de la viga conjugada.

2. La flecha en cualquier sección de la viga real, es igual al momento flector en la viga conjugada en la sección correspondiente.

Los apoyos de la viga real, para la viga conjugada se transforman a las indicadas en la figura. Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga conjugada debe ser estáticamente determinada.

Convención de signos:

Si el cortante es (+): el giro es (-)

Si el cortante es (-): el giro es (+)

Si el momento es (+): el desplazamiento es hacia abajo.

Si el momento es negativo: el desplazamiento es hacia arriba.

2.2 Transformación de las vigas reales en vigas conjugadas

Ejemplos de estas transformaciones:

 

2.2.1 Aplicación de la viga conjugada:

• Viga simple, carga concentrada en la mitad de la viga

 

La viga se flexiona como se indica en la figura (a). El diagrama de momentos flectores en la figura (b) y, como la viga es de sección constante el diagrama M/EI tendría la misma forma que el M. La viga conjugada se representa en la figura (c)

• Viga en voladizo, carga concentrada en el extremo
La viga se supone de sección constante; se flexiona como se indica en la figura (a) la viga conjugada esta representada en la figura (b).

• Viga simple; carga uniformemente distribuida

La viga tiene sección constante, se flexiona como se indica en la figura(a) y la viga conjugada se muestra en la figura (b).

• Viga en voladizo; carga uniformemente distribuida

Se flexiona como se muestra en la figura (a) y su respectiva conjugada, en la figura (b).

• Viga simple; carga concentrada en cualquier punto.

Flexión figura (a) y conjugada figura (b)

2.3 Procedimiento para calcular el giro y desplazamiento:

Calcular las reacciones en la viga real.

Hacer el diagrama de momento flector (DMF).

Hacer el diagrama de momento reducido (DMR).

Transformar la viga y cargarla con el momento reducido, esta será la viga conjugada.

Calcular los cortantes y momentos flectores en la viga conjugada en cada punto pedido.

Estos resultados serán los giros y desplazamientos en la viga real.

III.- EJERCICIOS:

Para visualizar el ejercicio, haga click sobre la imagen:










 

V.-BIBLIOGRAFÍA:

Resistencia de Materiales:
Pytel•Singer 4ta Edición (Pág. 212)

Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingeniería

http://www.politecnicovirtual.edu.co/ana-estru/analis-estruc-1.htm

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometricos/deflexiones%20geometricas.htm

http://www.ing.una.py/…/APOYO/Mecanica%20de%20Materiales%20I/Clase%2012%20-%20Viga%20Conjugada%20V250505.pdf

¿Eres estudiante? Mira estas aplicaciones para tu Smartphone

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Buenas, en esta ocasión les traigo unas herramientas muy útiles, ya sea para primaria, bachillerato y la universidad. Se basará mas que todo en herramientas de matemática, empezamos.

les mostrare una lista de aplicaciones para estudiantes de Ingenierias

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Wolfram Alpha es un servicio en línea que responde a las preguntas directamente, mediante el procesamiento de la respuesta extraída de una base de datos estructurados, en lugar de proporcionar una lista de los documentos o páginas web que podrían contener la respuesta, tal y como lo hace Google.

Resumiendo, es un programa que te puede ayudar en todo, desde operaciones matemáticas básicas como sumas y restas, hasta derivadas y otras operaciones matemáticas complejas. Aparte de esto, Wolfram Alpha también responde preguntas de historia, cultura, castellano, etc.

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MalMath Resuelve paso a paso

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MNQ es una aplicación para ING civil, que te ayuda mucho si estás empezando y tienes dudas acerca de cómo resolver, hallar, reacciones, cortes, gráfica y etc.

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Hoja de cálculo Excel para clasificación de suelos según SUCS Y AASHTO

HOJA DE CÁLCULO EXCEL PARA CLASIFICACIÓN DE SUELOS SEGÚN SUCS Y AASHTO

Existen dos métodos estandarizados para clasificar suelos por su tamaño y plasticidad que son el SUCS (Sistema Unificado de Clasificación de Suelos) y AASTHO (Asociación Americana de Funcionarios de Carreteras Estatales y Transporte).

Hoja de cálculo Excel para clasificación de suelos según SUCS Y AASHTO
SUCS Y AASHTO

Es necesario tener una idea general sobre la clasificación con estos dos métodos para interpretar de manera adecuada los resultados de la hoja excel. El autor menciona que la Geotécnia no se resume en simples datos que puedan ser introducidos en hojas de cálculo sin más ni más; se deben manejar los datos que se tienen con criterio.

Hoja de cálculo Excel para clasificación de suelos según SUCS Y AASHTO

Descargar Hoja Excel

Información del autor:
Jordi González Boada – Geólogo
web: www.jordigonzalezboada.com

Excel para Interpretación de resultados CSI Sap2000 y ETABS

Excel para Sap2000 y ETABS

En la Interpretación de resultados CSI Sap2000 y ETABS, muchas veces nos hemos visto hasta frustrados cuando nos toca hacer el diseño estructural final de un elemento de concreto armado. Sobre todo si diseñamos con CSI Sap2000 y ETABS que no nos dicen exactamente que debemos hacer.

Excel para Interpretación de resultados CSI Sap2000 y ETABS
Excel para Interpretación de resultados CSI Sap2000 y ETABS

Pensemos algo, debería todo en la vida darnos la solución a los problemas que tenemos?

Eso se debe a que es bueno que aprendamos a resolver las cosas paso a paso, sin embargo hay quienes se les hace más fácil haciendo un poco más de fuerza (la cual es proporcional a sus posibilidades).

Muchas veces leo en la bibliografía especializada sobre motivación que utilizo que nadie nos va a llegar con la solución que queremos a nuestras manos, sino más bien, nos llega a veces la herramienta que necesitamos para resolver esas situaciones.

Si, en esta oportunidad se trata de eso, una herramienta.

Una herramienta tal que nos permita interpretar los resultados que nos arrojan aplicaciones CSI como Sap2000 y ETABS, también en una parte de la hoja pueden averiguar cómo interpretar los resultados para las losas de concreto armado, cuyo refuerzo se dispone en uno o dos sentidos.

Excel para Interpretación de resultados CSI Sap2000 y ETABS
Excel para Interpretación de resultados CSI Sap2000 y ETABS

Se trata de una famosa hoja de cálculo que esta vez la dejo gratis, la razón es muy simple: hay quienes están haciendo dinero con esto y no es ético. Ya que nadie debe dar en venta lo que no le pertenece.

Está escrito: Si reciben gratis, den gratis….

Por ello, en virtud de que Jehová Dios me ha dado un don, el don de ser docente en una universidad, les comparto parte de ese conocimiento plasmado en una hoja que les ayude a resolver ciertos problemas de diseño estructural, completamente GRATIS!.

Excel para Interpretación de resultados CSI Sap2000 y ETABS
Excel para Interpretación de resultados CSI Sap2000 y ETABS

¿cómo funciona?

Es fácil cómo funciona, sólo hay que seguir las instrucciones, pero mejor explicado parte por parte que tiene esa hoja de especial en sus pestañas:

  • Acero mínimo en columnas: sirve para determinar qué armado de acero es más acertado en caso de los predimensionados a utilizar en los programas CSI, referenciando de cierta manera los ejes locales de las columnas teniendo como base secciones rectangulares y cuadradas.
  • Acero mínimo en vigas: sirve de igual manera que la pestaña de acero mínimo en columnas, la diferencia es que esto no es aplicable directamente al programa, ya que éste se encarga de calcularlos. Para lo que si nos sirve es para tener una referencia precisa al momento del detallado del refuerzo estructural en nuestros planos y a plantear parámetros límite de lo que concierne al refuerzo requerido y el mínimo normativo que debe una seccion tener.
  • Armado de acero en vigas: En esta pestaña debe ser muy cuidadoso, porque los resultados dependen de lo que usted sepa o no del programa, solo rellene las celdas comentadas (aquellas que tienen un triángulo rojo en la esquina). Esta hoja provee resultados interesantes de acuerdo al análisis y que sirven de guía definitiva para el diseño estructural, ya que el refuerzo esta completamente ajustado a criterios normativos que ya están contemplados en la hoja, la cuestión es simplemente llenar y seleccionar los diámetros y números de barras que desea presentar en las vigas. Se contempla:
    • Acero:
      • Longitudinal (requerido y mínimo)
      • Cortante (nunca colocarlo en cero absoluto)
      • Longitudinal a torsión (de ser necesario, si no, coloque cero)
    • Diagrama de refuerzos en la viga (solo como referencia)
  • Solapes: si necesita saber las dimensiones que debe tener su detalle estructural con respecto a los empalmes, solapes y dobleces.
  • Base de datos: Toda la información sobre las barras de refuerzo se encuentran ahí, sin embargo por cosas de la vida se me escapó dentro de esta hoja una pequeña sección para contemplar el refuerzo de las losas (macizas o nervadas). Este apartado se lo dejo a usted para que lo analice personalmente y me diga a ver que se puede mejorar.

Espero realmente que aproveche este material ya que solo lo daba en mis cursos de formación profesional pero en vista que se me dio gratis…. y les doy gratis ese material.

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