Método de los Tres Momentos

Introducción

El teorema general de los tres momentos mas que un teorema es una fórmula que relaciona los tres momentos en tres apoyos de una viga continua, que nos es muy útil en el cálculo de momentos en estos apoyos .

Además, este método nos simplifica el proceso de cálculo de los momentos flectores con los cuales se procede al trazado de los ya conocidos: DMF y DFC.
Con la aplicación directa de la fórmula, el proceso se simplifica y se vuelve un proceso netamente matemático rápido de desarrollar y fácil de interpretar.

1.-Generalidades

a) Objetivos

– Aprender a utilizar este método para que nos sea más fácil diagramar los cortantes y momentos flectores que se producen en una viga sometida a cargas externas.

– Conocer más de esta método, para tener el conocimiento de trabajar con estructuras hiperestáticas.

– Poder resolver ejercicios con vigas de mas de dos tramos en poco tiempo.

b) Limitaciones

– Estructuras hiperestáticas complejas de varios tramos, donde se requieren mas ecuaciones para poder resolverlas.

– Cálculo de los diagramas de fuerzas internas.

– Teoría un poco escasa, pero con los ejercicios se aprenderá.

2.- Glosario

– Flexión.- En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal.
– Comportamiento elástico.- El comportamiento elástico de un material nos brinda el conocimiento de como se comporta un material al estar sometido por cargas externas, a continuación un ensayo de tracción que nos graficará este comportamiento:

– Vigas continuas.- Vigas con más de un tramo, pueden ser homogéneas (EI=cte) o no (EI no es cte).

Comparación de una viga continua y una de dos tramos.

3.- Marco Teórico

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enunció por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

Los términos:

Pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

a.- Tramos 1 – 2

b.- Tramos 2 – 3

c.- Tramos 3 – 4

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5).

Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

O sea:

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.

M1=0 y M2=PL1

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:
ejercicios

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:

4.- Ejercicios:

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