METODO DE RIGIDEZ PARA LA SOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

METODO DE RIGIDEZ PARA LA SOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

INTRODUCCIÓN

Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reacción, las fuerzas internas en todos los puntos y las deformaciones.
Para estructuras estáticas solo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reacción ya que estas no sobrepasan en número a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de ahí encontramos las deformaciones por los métodos de la doble integración o trabajo virtual.
En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material).  Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura.
La manera como se manipulan estos tres tipos de  ecuaciones en el proceso de solución determina el método.
Por ejemplo, en el método de las fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las redundantes y después reemplazamos en estas ecuaciones, los desplazamientos en función de las fuerzas redundantes, quedando como incógnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aquí se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser estáticamente determinada, de ahí debemos completar la solución por medio de las ecuaciones de equilibrio estático.  En conclusión, se plantean tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este método el numero de incógnitas es el número de redundantes, y las matrices a resolver son de ese orden.
El otro método que plantearemos en este capitulo es el de la rigidez o de los desplazamientos.  Se llama de rigidez porque las ecuaciones finales a solucionar tienen como incógnitas los desplazamientos en función de las rigideces de los elementos.
En cualquiera de los dos métodos que planteemos se utiliza el principio de superposición, el cual se cumple para sistemas lineales, elásticos y que experimenten desplazamientos pequeños, o sea que las tangentes son iguales a los ángulos.
Debido a que en el método de la rigidez se trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es un grado de libertad.

GRADOS DE LIBERTAD:

Los grados de libertad corresponden a las posibles formas de moverse que tiene una estructura, con ellos se puede describir la figura deformada de una estructura. Estos se miden en los puntos de unión de elementos (nudos) o en los apoyos.
En apoyos sabemos determinar cuando un grado de libertad es libre o restringido, en nudos también podemos identificar los grados de libertad libres.
Para una estructura completa podemos contar los grados de libertad libres identificando los de los apoyos y después los de los nudos:


Esta estructura bidimensional tiene 7 grados de libertad libres, si conocemos los desplazamientos en cada una de sus direcciones podemos determinar la deformada de toda la estructura en función de estos desplazamientos. Note que ellos constituyen los desplazamientos de extremo de los elementos.

uc?id=1YiiafNkg05d0lbkapt9j6QqFCGEhE2 u

Esta estructura tiene 5 grados de libertad libres.

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS O DE LA RIGIDEZ

En este método se trabaja con los tres tipos de ecuaciones mencionados aplicadas a los nudos de la estructura dejando como incógnitas los desplazamientos de los grados de libertad libres.  Notamos que es una forma completamente distinta de trabajar, pero que analizando mas detenidamente es simplemente el método de los nudos.
Veamos en una estructura simple como se plantean las ecuaciones en los nudos.  Para esto representaremos cada elemento como un resorte susceptible de deformarse axialmente.

Se dan los datos del ejercicio:
K1=2 kLb/pul,            K2=1 kLb/pul             K3=1 kLb/pul             θ=45º  P=4kLb
Esta estructura tiene 3 redundantes, por lo tanto es estáticamente indeterminada.
En vista de que el método trabaja con los nudos, entonces planteamos los tres tipos de ecuaciones en los nudos, no se toman los apoyos ya que en ellos no hay ecuaciones de compatibilidad.
Ecuaciones de equilibrio:
Nudo B

uc?id=1W4IXSzgVS G7oZ sZFo j9MIElOkoEbj


Nudo C

uc?id=1sb7pZYfxNEkyyPKKpZ4

uc?id=1smVi5YLX0Z4O4V2z1tMtzu3VS7vrohVu

Las ecuaciones de Fx corresponden a grados de libertad libres y las de y corresponden a grados de libertad restringidos.

Compatibilidad de deformaciones:

En estas ecuaciones se plantean las deformaciones de cada elemento en función de los desplazamientos externos en los grados de libertad libres: (ecuaciones 2)

uc?id=1rU87DVGA39Luw F9LXhD4aT88cx2W0W

Ecuaciones de relaciones fuerza-deformación: (ecuaciones 3)

uc?id=1mvR1z6ZuwbJcqo TDaRqE4EhPC1yCt40

uc?id=1voFfjmgj7jXPNXR07vmwBYg2IqAMBQkJ

uc?id=1P6zTxoPP tjnztIok4HiPYHqY8C0Wc6J

planteemos las ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos externos por medio de sustituciones:
de (2) en (3):

uc?id=1hl U2XBVNjLlqUJmBMJghTmsyCCI4sBa

uc?id=1qAcD998w2RkU3O JZ9HV IRSdlRa3eVh

uc?id=1N Ey3 3tS oJCAZw RzsHfupu5CCEFSZ
reemplazando estas en las de equilibrio:

uc?id=1I18XeBWcACzS3Hvl8pkPGtlTX9Xhue1E

uc?id=1Ty19CGTWd6Lp b4 tR7tP0DpIjRVZyKo

En este caso quedan dos ecuaciones con dos incógnitas, los dos grados de libertad libres de los nudos, esta estructura es cinemáticamente indeterminada de segundo grado. Note que las ecuaciones de los grados de libertad restringidos no se usaron.
Se resuelve el sistema para las deformaciones libres y se devuelve hasta encontrar las fuerzas en los elementos.
Podemos plantear los pasos del método así:

  1. Identificar los grados de libertad libres en los nudos
  2. Plantear las ecuaciones de equilibrio de esos grados de libertad
  3. Plantear las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones,  esto es, expresar las deformaciones internas de los elementos (expresados en letras minúsculas) en función de los desplazamientos externos de la estructura.
  4. Plantear las ecuaciones de las leyes constitutivas del material, relaciones fuerza desplazamientos
  5. Reemplazar las ecuaciones del paso 3 en las del paso 4
  6. Remplazar en las ecuaciones de equilibrio las ecuaciones halladas en el paso 5
  7. Resolver para los desplazamientos
  8. Reemplazar los desplazamientos encontrados en las ecuaciones del paso 3 para hallar deformaciones internas
  9. Encontrar fuerzas de extremo de los elementos por medio de las ecuaciones del paso 4 y los valores del paso 8
  10. Con las fuerzas de extremo de elemento resolver para cada elemento sus fuerzas internas y deformaciones.

Observemos que el método parte de las ecuaciones de equilibrio en los nudos, entonces nos preguntamos que hacemos si las fuerzas no están aplicadas en los nudos sino en los elementos?

Método de doble integración Vigas

MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN VIGAS

Introducción

Existen métodos para calcular la deformación en cada punto de la longitud de la viga, debida a flexión.
El método de doble integración es uno de ellos, y parte de la ecuación diferencial de la viga, que es igual al momento en un punto, un diferencial antes del extremo derecho de la viga:
uc?id=1781zr dhJZsa3Zvl9a0B0ynIPv1ISIVS

uc?id=15DURtCE nnPe5d AcrSOp ewCtbkgT7E

Consideraciones:

  1. La vista lateral de la superficie neutra se le llama curva elástica, es la que muestra la deformación por flexión.
  2. Se toma el extremo izquierdo como el origen de x.
  3. El eje y es positivo hacia arriba de la viga.
  4. Se secciona la viga un diferencial antes del extremo derecho.
  5. La suma de momentos, hacia la izquierda de ese punto y en sentido horario positivo, es igual a la ecuación diferencial de la viga.

Desarrollo:
Todos los términos en la suma de momentos deberán estar en función de x, de esta manera la ecuación diferencial de la viga es:

[latex]\large EI\frac{\partial^2 y }{\partial x^2 }= M(x)[/latex]

Integrando con respecto a x se obtiene la ecuación de la pendiente:

[latex]\large EI\frac{\partial y }{\partial x }= \int M(x)dx +C_{1}[/latex]

Integrando de nuevo con respecto a x se obtiene la ecuación de la curva elástica:

[latex]\large EIy= \int (\int M(x)dx +C_{1})dx+C_{2}[/latex]

Método de los Tres Momentos

MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS

Introducción

El teorema general de los tres momentos mas que un teorema es una fórmula que relaciona los tres momentos en tres apoyos de una viga continua, que nos es muy útil en el cálculo de momentos en estos apoyos .

Además, este método nos simplifica el proceso de cálculo de los momentos flectores con los cuales se procede al trazado de los ya conocidos: DMF y DFC.
Con la aplicación directa de la fórmula, el proceso se simplifica y se vuelve un proceso netamente matemático rápido de desarrollar y fácil de interpretar.

1.-Generalidades

a) Objetivos

– Aprender a utilizar este método para que nos sea más fácil diagramar los cortantes y momentos flectores que se producen en una viga sometida a cargas externas.

– Conocer más de esta método, para tener el conocimiento de trabajar con estructuras hiperestáticas.

– Poder resolver ejercicios con vigas de mas de dos tramos en poco tiempo.

b) Limitaciones

– Estructuras hiperestáticas complejas de varios tramos, donde se requieren mas ecuaciones para poder resolverlas.

– Cálculo de los diagramas de fuerzas internas.

– Teoría un poco escasa, pero con los ejercicios se aprenderá.

2.- Glosario

– Flexión.- En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal.
– Comportamiento elástico.- El comportamiento elástico de un material nos brinda el conocimiento de como se comporta un material al estar sometido por cargas externas, a continuación un ensayo de tracción que nos graficará este comportamiento:

– Vigas continuas.- Vigas con más de un tramo, pueden ser homogéneas (EI=cte) o no (EI no es cte).

figura%25206
Comparación de una viga continua y una de dos tramos.

3.- Marco Teórico

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enunció por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

viga+1

viga+2

viga+3

Los términos:

viga+4

viga5

Pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.

tabla

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

viga+6

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

a.- Tramos 1 – 2

tramo1 2
b.- Tramos 2 – 3

tramo2 3

c.- Tramos 3 – 4

tramo3 4
En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5).

Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

O sea:

osea

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.

3%C2%BA

M1=0 y M2=PL1

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:
ejercicios

R2

R1
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:

2

4.- Ejercicios:

[Sin+título-Escaneado-01.jpg]

[Sin+título-Escaneado-02.jpg]

[Sin+título-Escaneado-03.jpg]

 

Sin+t%C3%ADtulo Escaneado 04

Sin+t%C3%ADtulo Escaneado 05

Sin+t%C3%ADtulo Escaneado 06

Sin+t%C3%ADtulo Escaneado 07

Sin+t%C3%ADtulo Escaneado 08

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